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0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Le vecteur est modifié comme l lf/v ) ( J) = l lf/v ) + ~ ~ [l lf/a) + l IJfb )] + O(t 2 ).
b) Le problème est invariant par réflexion !% : on peut vérifier explicitement que
[/%, H] = 0 en utilisant que !%1 If/a ) = l lf/b ), /%1 lf/b) = l If/a), /%1 lf/v ) = l lf/v ) (et
!%1 lf/T, M ) = - 1 lf/T, M )).
Notons 1 /%1 en déduisons que Ha une structure diagonale par blocs dans une base d 'états propres
de la réflexion. Introduisons
(B.53)
(B.54)
Dans la base {I (
110. -110. o]( u o -0.t]( 1; Y2 110. ol (u o o l
1/ Y2 110. 0 0
u -0.t -110. 1/ Y2 0 = 0 u -2t
0
0
1 - Y2 t - Y2 t 0
0
0 1 0 -2t 0
(B.55)
très simple à diagonaliser (une matrice 2 x 2). Nous obtenons la valeur propre EA = U
associée à 1 <:J> A ) et les valeurs propres
E± = - [ U ± Y U 2 + 16 t 2 j : ' . : : : : ' .
2
-
u
1
{U ± U + 4t2
2
±2t + ~
pour t « U
pour t » U
pour les états
l lf/+) = cos(B/2)1 l lf/_ ) = sin(B/2)1 où tan B ~f 4t/ U. (Nous avon s retrouvé le résultat perturbatif E_ : ' . : : : : ' . - 4 t
2 / U) .
(B .56)
(B .57)
(B .58)
4. Si on oublie les deux états de haute énergie 1 E+ : ' . : : : : ' . U , le spectre de basse énergie de H est donc E_ : ' . : : : : ' . - 4 t
2 / U pour l'état singulet et
ET = 0 pour les états du triplet. L' hamiltonien effectif a donc les mêmes vecteurs propres.
Les spectres des énergies coïncident pour A = 4t
2
/(n
2 U) et B = 2t2/U. La physique de basse
énergie du problème, rendant compte de l' effet de l'énergie coulombienne et du principe de
Pauli, peut être décrite par l' hamiltonien effectif
(B.59)
décrivant une interaction antiferromagnétique favorisant l' anti-alignement des spins.
5. Nous comparons la physique du niveau excité de l' hélium (problème précédent) et celle
du niveau fondamental de la molécule de di-hydrogène. Les mêmes ingrédients sont présents
(Coulomb, Pauli).
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