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> a.
0
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
3) Nous considérons les deux orbitales ls2s. Puisque le spin est conservé on a
(ls2s;S,MIHl1s2s;S',M') ex: ôs,s'ÔM,M'· La perturbation est donc diagonale dans cette
base du sous espace propre 8'(1s2s). On trouve
( ls2s; 0, OIWI ls2s; 0, 0) = C1s,2s + l1 s,2s
( ls2s; 1, M IWI ls2s; 1, M) = C1s,2s - l1 s,2s
(B.4S)
(B.46)
Le produit des orbitales ls et 2s est essentiellement positif
2
(chapitre 12); on attend donc 1 > O. On peut juste estimer que 1 ~ R qui est assez loin
des 0.796 eV. L'état triplet (ortho-hélium) a donc une énergie E~; 2 s,S=I ::::: -SR+ C - 1
plus basse que l'état singulet (para-hélium) E~~~s,S=O ::::: -SR+ C + 1. L'expérience donne
E1s2s,S=I - E1 5 2 ::::: 19.820 eV et E1s2s,S=O - E1s2 ::::: 20.616 eV.
Ceci est une conséquence particulière de la règle (empirique) de Hund (cf. [30], chap. X,
§67): étant donné un ensemble d'orbitales atomiques occupées par des électrons, la configuration de plus basse énergie est celle de plus grand S.
Donnons un argument physique : lorsqu'ils sont dans l'état singulet, symétrisé spatialement, les deux électrons sont typiquement plus proches l' un de 1' autre que lorsqu'ils se
trouvent dans l'état triplet, anti-symétrisé spatialement. L'énergie coulombienne d'interaction est donc plus élevée dans le premier cas.
4) Les états singulet et triplet diagonalisent l' hamiltonien effectif H eff. Le spectre de ce dernier
coïncide avec le spectre des niveaux ls2s à condition de choisir B = C - 1/2 et A = -21/n
2 •
Le signe de A indique que l' interaction rend l'alignement des spins (état triplet) favorable
énergétiquement. C'est une interaction de nature ferromagnétique.
Comparaison avec l'interaction dipolaire magnétique. L'interaction dipolaire magnétique
est HoM = 4 ~
0
,. 3 [ M 1 • M2 - 3(M 1 · ü,. )(M2 · ü,.)] où r et ü,. sont respectivement la distance et la
direction du vecteur séparant les deux moments M 1 2 = YeS 1 2 (on rappelle que Ye =
9
2
.q. et
'
,
me
µoEoc 2 = 1). En écrivant r ~ ao = n
2 /(mee
2 ) on obtient HoM ~ µ 4 °";~
2
~ a 2 R où a= e
2
/(nc).
1ra 0
Finalement l' interaction entre moments magnétiques HoM ~ a
2 R ::::: 0.7 meV est beaucoup
plus petite que l'interaction effective 21::::: 0.796 eV (Coulomb & Pauli) d' un facteur 1000 !
-
Problème : Mécanisme de super-échange
1. D 'après l'introduction, l' hamiltonien est indépendant du spin, donc [H, S] = 0 où S est
le spin total des deux électrons. Nous chercherons des états stationnaires états propres de S
2
et S z, i.e. tels que les parties orbite et spin ne soient pas intriquées 1 If') = 11/1 )orb ® lx )spin·
L'état 1 If' ) doit être antisymétrique sous l'échange des électrons, ce qui nous laisse deux
possibilités : 11/!)orb symétrique et IX)spin antisymétrique, ou l'inverse. Rappelons que les
états propres du spin total, IS , M), sont des états symétriques de l'opérateur d'échange (cf.
§ 11.2.7). Finalement:
352
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
3) Nous considérons les deux orbitales ls2s. Puisque le spin est conservé on a
(ls2s;S,MIHl1s2s;S',M') ex: ôs,s'ÔM,M'· La perturbation est donc diagonale dans cette
base du sous espace propre 8'(1s2s). On trouve
( ls2s; 0, OIWI ls2s; 0, 0) = C1s,2s + l1 s,2s
( ls2s; 1, M IWI ls2s; 1, M) = C1s,2s - l1 s,2s
(B.4S)
(B.46)
Le produit des orbitales ls et 2s est essentiellement positif
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(chapitre 12); on attend donc 1 > O. On peut juste estimer que 1 ~ R qui est assez loin
des 0.796 eV. L'état triplet (ortho-hélium) a donc une énergie E~; 2 s,S=I ::::: -SR+ C - 1
plus basse que l'état singulet (para-hélium) E~~~s,S=O ::::: -SR+ C + 1. L'expérience donne
E1s2s,S=I - E1 5 2 ::::: 19.820 eV et E1s2s,S=O - E1s2 ::::: 20.616 eV.
Ceci est une conséquence particulière de la règle (empirique) de Hund (cf. [30], chap. X,
§67): étant donné un ensemble d'orbitales atomiques occupées par des électrons, la configuration de plus basse énergie est celle de plus grand S.
Donnons un argument physique : lorsqu'ils sont dans l'état singulet, symétrisé spatialement, les deux électrons sont typiquement plus proches l' un de 1' autre que lorsqu'ils se
trouvent dans l'état triplet, anti-symétrisé spatialement. L'énergie coulombienne d'interaction est donc plus élevée dans le premier cas.
4) Les états singulet et triplet diagonalisent l' hamiltonien effectif H eff. Le spectre de ce dernier
coïncide avec le spectre des niveaux ls2s à condition de choisir B = C - 1/2 et A = -21/n
2 •
Le signe de A indique que l' interaction rend l'alignement des spins (état triplet) favorable
énergétiquement. C'est une interaction de nature ferromagnétique.
Comparaison avec l'interaction dipolaire magnétique. L'interaction dipolaire magnétique
est HoM = 4 ~
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,. 3 [ M 1 • M2 - 3(M 1 · ü,. )(M2 · ü,.)] où r et ü,. sont respectivement la distance et la
direction du vecteur séparant les deux moments M 1 2 = YeS 1 2 (on rappelle que Ye =
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2 /(mee
2 ) on obtient HoM ~ µ 4 °";~
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Finalement l' interaction entre moments magnétiques HoM ~ a
2 R ::::: 0.7 meV est beaucoup
plus petite que l'interaction effective 21::::: 0.796 eV (Coulomb & Pauli) d' un facteur 1000 !
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Problème : Mécanisme de super-échange
1. D 'après l'introduction, l' hamiltonien est indépendant du spin, donc [H, S] = 0 où S est
le spin total des deux électrons. Nous chercherons des états stationnaires états propres de S
2
et S z, i.e. tels que les parties orbite et spin ne soient pas intriquées 1 If') = 11/1 )orb ® lx )spin·
L'état 1 If' ) doit être antisymétrique sous l'échange des électrons, ce qui nous laisse deux
possibilités : 11/!)orb symétrique et IX)spin antisymétrique, ou l'inverse. Rappelons que les
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§ 11.2.7). Finalement:
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