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Solutions des exercices et problèmes
d) Si L = 2 et S = l ~ J E {l, 2, 3}. On obtient les facteurs de Landé 92 11 = 1/2,
9212 = 7/6 et 9213 = 4/3. Ce cas correspond au niveau 3p1 de l'atome de sodium
discuté dans la section S.2.1 (cf. figure S.6).
-
Problème : Mécanisme d'échange - Atome d'hélium
1) Hamiltonien Ho. a) Les deux électrons occupent deux orbitales a et b· À partir de
ces deux états nous construisons des états antisymétriques. À ce stade il est commode de
considérer des états factorisés orbite®spin. Dans ce cas chaque partie doit être état propre de
l'opérateur d'échange. Cela impose que la partie spin soit un état propre de S
2 , le spin total
(rappelons que 1 ' état singulet de spin, S = 0, est antisymétrique alors que 1 'état triplet, S = 1,
est symétrique).
• Cas a = b. Nous pouvons construire un état propre de Ho d'énergie 2Ea. La partie orbitale 1 a) ® 1 a) étant symétrique, l'état complet est nécessairement singulet de spin
1aa )® 1a )®10, 0 )spin·
• Cas a* b. Nous pouvons construire quatre états propres de Ho d' énergie Ea + Eb.
Nous avons le choix entre (1) symétriser la partie orbitale (état singulet) :
l
1aa )®1 b) + 1b) ® 1a ))®10, 0 )spin·
(2) Antisymétriser la partie orbitale (état triplet) :
1
1 aa) ® 1 b) - 1b) ® 1 a)) ® 11, M )spin
Ces quatre états sont antisymétriques sous l'échange (postulat de symétrisation).
(B.43)
(B.44)
Dans la situation a * b nous aurions aussi bien pu construire des états globalement antisymétriques mais intriqués spin-orbite, cf. éq. (11.16). L' intérêt des états factorisés est qu'ils
sont états propres du spin total (conservé): cette propriété les rendra utiles pour le traitement
perturbatif.
b) Valeurs propres de l'énergie. Les valeurs propres de Ho sont E~~~ = En + Em avec
n, m E N* , où En = -Z
2 R/n
2 (R est le Rydberg). L'état fondamental a une énergie
2E 1 = - SR ; c' est un état singulet de spin, non dégénéré. Le premier état éxcité a une énergie
E 2 + E 1 =-SR; nous pouvons construire 4 états ls2s et 4 x 3 états ls2p. La dégénérescence
totale est 16.
2) L'état fondamental l ls
2 ; 0, 0) est non dégénéré. L'interaction apporte une correction
d'ordre 1 en W donnée par l'intégralecoulombienne ( ls
2
IWI ls
2 ) = C 1 s,l s · Le niveau d'énergie est E~~.; = - SR+ C 1 s,ls à l'ordre 1 en W. Nous pouvons estimer l' intégrale de Coulomb:
C 1s,1 s ~ R puisque les deux électrons sont typiquement à distance ao/Z = ao/2 du noyau
(donc à distance ~ ao l' un de l'autre). En utilisant ne ~ 197 eV.nm nous voyons que l'énergie
de la première ionisation est Ette+ - EHe = hc/À. ~ 24.6 eV (figure 12.5 page 245). On ajoute
l'énergie EHe++ - EHe+ = Z
2 R ~ 54.4 eV pour ioniser complètement l'atome; l'énergie du
niveau (donnée par l'expérience) est donc E 1 s 2 ~ -79eV ~ -5.SR. Notre approche perturbative ne peut pas donner mieux que le bon ordre de grandeur ( ~ -SR + R = - 7 R) : la méthode
est peu précise puisque l' échelle caractérisant la perturbation W ~ Rest du même ordre que
les écarts entre niveaux de Ho (la perturbation n'est pas « petite »).
351
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9212 = 7/6 et 9213 = 4/3. Ce cas correspond au niveau 3p1 de l'atome de sodium
discuté dans la section S.2.1 (cf. figure S.6).
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Problème : Mécanisme d'échange - Atome d'hélium
1) Hamiltonien Ho. a) Les deux électrons occupent deux orbitales a et b· À partir de
ces deux états nous construisons des états antisymétriques. À ce stade il est commode de
considérer des états factorisés orbite®spin. Dans ce cas chaque partie doit être état propre de
l'opérateur d'échange. Cela impose que la partie spin soit un état propre de S
2 , le spin total
(rappelons que 1 ' état singulet de spin, S = 0, est antisymétrique alors que 1 'état triplet, S = 1,
est symétrique).
• Cas a = b. Nous pouvons construire un état propre de Ho d'énergie 2Ea. La partie orbitale 1 a) ® 1 a) étant symétrique, l'état complet est nécessairement singulet de spin
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• Cas a* b. Nous pouvons construire quatre états propres de Ho d' énergie Ea + Eb.
Nous avons le choix entre (1) symétriser la partie orbitale (état singulet) :
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(2) Antisymétriser la partie orbitale (état triplet) :
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Ces quatre états sont antisymétriques sous l'échange (postulat de symétrisation).
(B.43)
(B.44)
Dans la situation a * b nous aurions aussi bien pu construire des états globalement antisymétriques mais intriqués spin-orbite, cf. éq. (11.16). L' intérêt des états factorisés est qu'ils
sont états propres du spin total (conservé): cette propriété les rendra utiles pour le traitement
perturbatif.
b) Valeurs propres de l'énergie. Les valeurs propres de Ho sont E~~~ = En + Em avec
n, m E N* , où En = -Z
2 R/n
2 (R est le Rydberg). L'état fondamental a une énergie
2E 1 = - SR ; c' est un état singulet de spin, non dégénéré. Le premier état éxcité a une énergie
E 2 + E 1 =-SR; nous pouvons construire 4 états ls2s et 4 x 3 états ls2p. La dégénérescence
totale est 16.
2) L'état fondamental l ls
2 ; 0, 0) est non dégénéré. L'interaction apporte une correction
d'ordre 1 en W donnée par l'intégralecoulombienne ( ls
2
IWI ls
2 ) = C 1 s,l s · Le niveau d'énergie est E~~.; = - SR+ C 1 s,ls à l'ordre 1 en W. Nous pouvons estimer l' intégrale de Coulomb:
C 1s,1 s ~ R puisque les deux électrons sont typiquement à distance ao/Z = ao/2 du noyau
(donc à distance ~ ao l' un de l'autre). En utilisant ne ~ 197 eV.nm nous voyons que l'énergie
de la première ionisation est Ette+ - EHe = hc/À. ~ 24.6 eV (figure 12.5 page 245). On ajoute
l'énergie EHe++ - EHe+ = Z
2 R ~ 54.4 eV pour ioniser complètement l'atome; l'énergie du
niveau (donnée par l'expérience) est donc E 1 s 2 ~ -79eV ~ -5.SR. Notre approche perturbative ne peut pas donner mieux que le bon ordre de grandeur ( ~ -SR + R = - 7 R) : la méthode
est peu précise puisque l' échelle caractérisant la perturbation W ~ Rest du même ordre que
les écarts entre niveaux de Ho (la perturbation n'est pas « petite »).
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