"O
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
-
Problème: Théorème de projection et facteurs de Landé atomiques
A. 1. Les calculs de commutateurs ne présentent pas de difficulté. Par exemple [lz, V±] =
[lz, Vx] ± i[lz, Vu] = in(Vu ± i(-Vx)) = n(iVy ± Vx) = ±nV±.
2. [lz, Vz] = 0 ~ (m - m')(j, mlVzli', m' ) =O. Donc(}, mlVzlJ', m') * 0 ssi m = m'. De
même on obtient(}, m IV±I j', m' ) * 0 ssi m = m' ± 1.
3. a) [J+, V+] = 0 ~ ( j, m + 2 1 1+ V+I j, m) = ( j, m + 2 IV+l +I j, m ). Introdui sons une relation de fermeture. Nous déduisons
(j,m+21V+l},m+ 1)
(j,m+ llV+l},m )
~~~~~~~~= ~~~~~~~
(j,m+2ll+l},m+ 1)
(j,m+ l ll+IJ,m)
(B.41)
En itérant nous voyons que(}, m + l IV+I j, m) = a +(J)(j, m + 1 ll+I j, m) et puisque
tous les autres éléments de matrice sont nul s (}, mlV+I}, m') = a +(J)(j, mll+I}, m')
V m, m'. Les deux opérateurs V+ et J + sont donc proportionnels dans
b) Toujours suivant la même logique, en partant alternativement de [J_, V+] =
-21iVz puis [l+, V_] = +21iVz on montre successivement que (j,mlVzlJ,m') =
a +(J) ( j, m llzl j, m' ) puis ( j, m IVzl j, m' ) = a _(j) ( j, m llzl j, m' ). On déduit a+ (}) =
a _(j) = a(j).
c) Nous venons de voir que, dans i! 1 , les trois composantes de V sont proportionnelles
aux trois composantes de J: y (G"j) = a(j)J{G"j). Le produit scalaire avec J nous donne
J(G"j) · y (G"j) = a(j)1i 2 j(j + 1)1 (G"j). En introduisant la notation proposée (/ · V) J =
a(j)(J~)j . QED.
B.1.
a) L'invariance par rotation impose [Ho, l] = [Ho, S] = 0
b) Si Z est pair S E {O, 1, · · · , Z/2}. Si Z est impair S E {1/2, 3/2, · · · , Z/2}.
2. Invariance par rotation.
3. a) Onutilisel·f= l 2 +l·S = l(J ~+ l 2 - S 2 ) d ' oùlC G"1) = l(J+l )+L(L+l )- S(S +l ) 1iG" 1)
2
,
21(1+1)
.
350
De même § C G" 1) = 1(1+1)- L(L+l)+S(S+ I) liG" 1)
21(1+1)
.
b) La méthode des perturbations nous dit de diagonaliser Wz dans le sous espace propre
tff 1 . Puisque dans tff 1 , les trois moments cinétiques sont proportionnels, Wz est égale ment proportionnel à l z. Les vecteurs 1 nLS; 1M 1 ) sont donc vecteurs propres de
H~
1
>. On obtient finalement
3 S (S + 1) - L(L + 1)
g LSl = l +
21(1 + 1)
(B.42)
Les pentes des niveaux Zeeman sont donc des nombres rationnels fonctions des trois
nombres quantiques L, S et J. L' analyse du spectre Zeeman permet de remonter à ces
nombres quantiques.
c) Pour vérifier notre résultat nous étudions les cas limites. Si S = 0 alors J = L et
9 LOL = 1 (ce que nous obtenons en effet en écrivant Wz = w 8 Lz). De même, si L = 0
alors 1 = S et goss = 2 (ce que nous déduisons de Wz = 2wsS z).
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
-
Problème: Théorème de projection et facteurs de Landé atomiques
A. 1. Les calculs de commutateurs ne présentent pas de difficulté. Par exemple [lz, V±] =
[lz, Vx] ± i[lz, Vu] = in(Vu ± i(-Vx)) = n(iVy ± Vx) = ±nV±.
2. [lz, Vz] = 0 ~ (m - m')(j, mlVzli', m' ) =O. Donc(}, mlVzlJ', m') * 0 ssi m = m'. De
même on obtient(}, m IV±I j', m' ) * 0 ssi m = m' ± 1.
3. a) [J+, V+] = 0 ~ ( j, m + 2 1 1+ V+I j, m) = ( j, m + 2 IV+l +I j, m ). Introdui sons une relation de fermeture. Nous déduisons
(j,m+21V+l},m+ 1)
(j,m+ llV+l},m )
~~~~~~~~= ~~~~~~~
(j,m+2ll+l},m+ 1)
(j,m+ l ll+IJ,m)
(B.41)
En itérant nous voyons que(}, m + l IV+I j, m) = a +(J)(j, m + 1 ll+I j, m) et puisque
tous les autres éléments de matrice sont nul s (}, mlV+I}, m') = a +(J)(j, mll+I}, m')
V m, m'. Les deux opérateurs V+ et J + sont donc proportionnels dans
b) Toujours suivant la même logique, en partant alternativement de [J_, V+] =
-21iVz puis [l+, V_] = +21iVz on montre successivement que (j,mlVzlJ,m') =
a +(J) ( j, m llzl j, m' ) puis ( j, m IVzl j, m' ) = a _(j) ( j, m llzl j, m' ). On déduit a+ (}) =
a _(j) = a(j).
c) Nous venons de voir que, dans i! 1 , les trois composantes de V sont proportionnelles
aux trois composantes de J: y (G"j) = a(j)J{G"j). Le produit scalaire avec J nous donne
J(G"j) · y (G"j) = a(j)1i 2 j(j + 1)1 (G"j). En introduisant la notation proposée (/ · V) J =
a(j)(J~)j . QED.
B.1.
a) L'invariance par rotation impose [Ho, l] = [Ho, S] = 0
b) Si Z est pair S E {O, 1, · · · , Z/2}. Si Z est impair S E {1/2, 3/2, · · · , Z/2}.
2. Invariance par rotation.
3. a) Onutilisel·f= l 2 +l·S = l(J ~+ l 2 - S 2 ) d ' oùlC G"1) = l(J+l )+L(L+l )- S(S +l ) 1iG" 1)
2
,
21(1+1)
.
350
De même § C G" 1) = 1(1+1)- L(L+l)+S(S+ I) liG" 1)
21(1+1)
.
b) La méthode des perturbations nous dit de diagonaliser Wz dans le sous espace propre
tff 1 . Puisque dans tff 1 , les trois moments cinétiques sont proportionnels, Wz est égale ment proportionnel à l z. Les vecteurs 1 nLS; 1M 1 ) sont donc vecteurs propres de
H~
1
>. On obtient finalement
3 S (S + 1) - L(L + 1)
g LSl = l +
21(1 + 1)
(B.42)
Les pentes des niveaux Zeeman sont donc des nombres rationnels fonctions des trois
nombres quantiques L, S et J. L' analyse du spectre Zeeman permet de remonter à ces
nombres quantiques.
c) Pour vérifier notre résultat nous étudions les cas limites. Si S = 0 alors J = L et
9 LOL = 1 (ce que nous obtenons en effet en écrivant Wz = w 8 Lz). De même, si L = 0
alors 1 = S et goss = 2 (ce que nous déduisons de Wz = 2wsS z).