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Solutions des exercices et problèmes
CHAPITRE 13
Exercice
Solutions perturbatives. On cherche la solution sous la forme d ' un développement en puissances du petit paramètre: é (xo + x 1 + · · · )
3 + (xo + x 1 + · · · )
2 -1 = O. Les termes d'ordre éo de
l'équation sont x6-l = 0 i.e. x 0 = ± l. L' ordre é
1 nous donne é x~+2x 0 x 1 = 0 i.e. x 1 = -!é x&.
L'ordre E
2 conduit à 3é x&xi + xi + 2xox2 = 0 i.e. x2 = - 2 ~ 0 (3é x&x1 + xi). Etc. Finalement
les premiers termes du développement de la solution sont xE = ± 1 - ~€ ± i~ + O(é
3 ).
Solution non perturbative. Remarquons que la méthode ne nous permet ici de trouver que
deux des trois solutions. La raison se comprend aisément: la troisième solution n'admet pas
un développement de Taylor en puissance du petit paramètre, mais diverge pour é ~ 0 (elle
est« non perturbative » ). Parce que le problème est simple nous pouvons identifier la nature
de la divergence de la solution non perturbative, xE ~ -l/é, et adapter la méthode en cherchant la solution sous la forme d'un développement xE = - ~ + xo + x 1 + · · · . En identifiant
les équations à chaque ordre dans le petit paramètre, nous obtenons finalement la troisième
solution xE = -l/é + é + O(é
3 ) .
Exercice
Spectre semi-classique du potentiel quartique
L' application de la règle semiclassique est 2 f-~ 3 ~~;: ; 4 dx~E-1ax4 = 2n(n +~).La formule (A.8) nous permet de calculer l' intégrale. Nous déduisons le spectre approché E':;'KB =
3
1/3 [ _ f;; T(3/4) (
J )]4/3
"i\..T
a
vnr(l/ 4 ) n+ 2
,pournE n .
La valeur approchée de l'énergie du fondamental, E'(/KB ~ 0.601 a 1 1 3 , donne une moins
bonne estimation que la méthode variationnelle (cf.§ 13 .2), comme on s'y attendait puisque
la méthode WKB s'applique au régime semi-classique. Cependant les énergies se rapprochent
du résultat exact à mesure qu'augmente n, comme en peut en juger sur le tableau suivant dans
lequel on compare le spectre obtenu numériquement avec le spectre WKB :
n
Ena-173
EWKBa- t/3
n
écart
0
1
0.7352 2.6345
0.601 2 2.6014
18%
1.3%
2
5.1695
5.1406
0.56%
3
8.0739
8.0510
0.28 %
4
11.2752
11.2558
0.17%
5
14.7256
14.7087
0.11 %
6
7
18.3934 22.255
18.3785 22.242
0.08%
0.06%
Exercice
Transmission à travers une barrière parabolique
L'application de la formule (13.40) conduit à twKB ~ exp-m 1 t J::E dx ~x~ - x 2 où E
1
2 2 ·
ir[E[
- 2mW XE I.e. twKB ~exp- nw .
Remarque
Il est intéressant de noter que la nature quadratique du potentiel permet de résoudre
exactement l'équation de Schrodinger pour obtenir la probabilité de transmission
VE. La solution a été obtenue par E. C. Kemble, Physical Review 48 , 549 (1935) :
T = ltl
2
=
1 2JrE . Dans la limite - E » nw cette expression coïncide avec le résultat
l +exp - liw
WKB.
349
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Solutions des exercices et problèmes
CHAPITRE 13
Exercice
Solutions perturbatives. On cherche la solution sous la forme d ' un développement en puissances du petit paramètre: é (xo + x 1 + · · · )
3 + (xo + x 1 + · · · )
2 -1 = O. Les termes d'ordre éo de
l'équation sont x6-l = 0 i.e. x 0 = ± l. L' ordre é
1 nous donne é x~+2x 0 x 1 = 0 i.e. x 1 = -!é x&.
L'ordre E
2 conduit à 3é x&xi + xi + 2xox2 = 0 i.e. x2 = - 2 ~ 0 (3é x&x1 + xi). Etc. Finalement
les premiers termes du développement de la solution sont xE = ± 1 - ~€ ± i~ + O(é
3 ).
Solution non perturbative. Remarquons que la méthode ne nous permet ici de trouver que
deux des trois solutions. La raison se comprend aisément: la troisième solution n'admet pas
un développement de Taylor en puissance du petit paramètre, mais diverge pour é ~ 0 (elle
est« non perturbative » ). Parce que le problème est simple nous pouvons identifier la nature
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les équations à chaque ordre dans le petit paramètre, nous obtenons finalement la troisième
solution xE = -l/é + é + O(é
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Exercice
Spectre semi-classique du potentiel quartique
L' application de la règle semiclassique est 2 f-~ 3 ~~;: ; 4 dx~E-1ax4 = 2n(n +~).La formule (A.8) nous permet de calculer l' intégrale. Nous déduisons le spectre approché E':;'KB =
3
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La valeur approchée de l'énergie du fondamental, E'(/KB ~ 0.601 a 1 1 3 , donne une moins
bonne estimation que la méthode variationnelle (cf.§ 13 .2), comme on s'y attendait puisque
la méthode WKB s'applique au régime semi-classique. Cependant les énergies se rapprochent
du résultat exact à mesure qu'augmente n, comme en peut en juger sur le tableau suivant dans
lequel on compare le spectre obtenu numériquement avec le spectre WKB :
n
Ena-173
EWKBa- t/3
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écart
0
1
0.7352 2.6345
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18%
1.3%
2
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0.56%
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0.28 %
4
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0.11 %
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18.3934 22.255
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0.08%
0.06%
Exercice
Transmission à travers une barrière parabolique
L'application de la formule (13.40) conduit à twKB ~ exp-m 1 t J::E dx ~x~ - x 2 où E
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Remarque
Il est intéressant de noter que la nature quadratique du potentiel permet de résoudre
exactement l'équation de Schrodinger pour obtenir la probabilité de transmission
VE. La solution a été obtenue par E. C. Kemble, Physical Review 48 , 549 (1935) :
T = ltl
2
=
1 2JrE . Dans la limite - E » nw cette expression coïncide avec le résultat
l +exp - liw
WKB.
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