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0
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......
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> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
cutées dans les ouvrages [35, 47].
D. A. Bromley, J. A. Kuehner & E. Almqvist, Resonant elastic scattering of C
12 by carbon, Phys. Rev. Lett. 4, 365 (1960).
CHAPITRE 12
Exercice
Le minimum du potentiel a pour position r * = t(t + l)ao où ao = tz
2
2 •
µ e
Le développement au voisinage du minimum est Ve(r) : ' . : : : : ' . R[ - ece~I ) + [t(t+~ )J 3 aô (r - r *)
2 -
[t(t+~)l 4 a 6
(r - r* )
3 ] où R = i~: = e
2 /(2ao). Nous écrivons le terme quadratique sous la forme
~µw; (r - r* )2 en posant w * = [t(e}l)J 312 R/n. En utilisant le résultat du cours sur l' oscillateur
harmonique, nous pouvons écrire les niveaux d 'énergie comme Ep,e : ' . : : : : ' . - ece~I) + nw*(p - ~)
avec p E N* (notons que nous avons choisi d' indicer les niveaux par un entier strictement
positif par commodité pour la suite, d ' où lep - 1/2).
Ce résultat n' est valable que si nous pouvons négliger l'anharmoniticité du potentiel, notamment Vcub(r) = - [t(e.?~J 4 a 6
(r - r*)3 . L' approximation harmonique est valable si le terme
cubique est négligeable devant le terme quadratique Vcub(8r) « pnw* où 8r ~ yp ~n/µw* .
Nous obtenons la condition e » p ;;;;: 1. Le résultat obtenu plus haut n' a de sens que dans
cette limite : Ep,t : ' . : : : : ' . i~: [ -b + ~f ], qui est le développement pour t » p du résultat exact
µ e
4
1
Ep,t = - 2ri2 (p +e)2 .
Exercice
Taille des atomes
À grande di stance, le potentiel de l' atome ionisé une fois est dû à la charge +Z du noyau et la
charge - (Z- 1) des autres électrons : Vetf(r) : ' . : : : : ' . - e
2 /r. L'échelle caractérisant le confinement du
dernier électron est donc encore le rayon de Bohr a 8 . Les atomes, dans leur état fondamental,
ont tous une taille, définie comme l' extension de la densité de probabilité électronique, de
l'ordre de l Â, V Z.
Exercice
Ions hydrogénoïdes
L' hamiltonien de l'ion hydrogénoïde est obtenu à partir de l'hamiltonien de l'atome d'hydrogène en procédant à la substitution e
2 ---? Z e
2 • Nous déduison s un rayon de Bohr Z foi s plus
petit a~ = a 0 /Z et des énergies Z
2 fois plus grandes E~ = - ~~ R .
Dans son état fondamental l'électron a une énergie Ef = - Z
2 R. Cette énergie devient de
l'ordre de l'énergie de masse, Ef ~ ~mec
2 pour Z ~ l /a : ' . : : : : ' . 137.
Exercice
Symétries de l'atome H
Nous introduisons la notation Li 4 = Ki et Lij = Eïjkek. Les relations de commutations entre
les composantes du moment cinétique et celles du vecteur de Lenz prennent la forme des
relations de commutations entre les six générateurs Lij du groupe SO( 4 ).
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
cutées dans les ouvrages [35, 47].
D. A. Bromley, J. A. Kuehner & E. Almqvist, Resonant elastic scattering of C
12 by carbon, Phys. Rev. Lett. 4, 365 (1960).
CHAPITRE 12
Exercice
Le minimum du potentiel a pour position r * = t(t + l)ao où ao = tz
2
2 •
µ e
Le développement au voisinage du minimum est Ve(r) : ' . : : : : ' . R[ - ece~I ) + [t(t+~ )J 3 aô (r - r *)
2 -
[t(t+~)l 4 a 6
(r - r* )
3 ] où R = i~: = e
2 /(2ao). Nous écrivons le terme quadratique sous la forme
~µw; (r - r* )2 en posant w * = [t(e}l)J 312 R/n. En utilisant le résultat du cours sur l' oscillateur
harmonique, nous pouvons écrire les niveaux d 'énergie comme Ep,e : ' . : : : : ' . - ece~I) + nw*(p - ~)
avec p E N* (notons que nous avons choisi d' indicer les niveaux par un entier strictement
positif par commodité pour la suite, d ' où lep - 1/2).
Ce résultat n' est valable que si nous pouvons négliger l'anharmoniticité du potentiel, notamment Vcub(r) = - [t(e.?~J 4 a 6
(r - r*)3 . L' approximation harmonique est valable si le terme
cubique est négligeable devant le terme quadratique Vcub(8r) « pnw* où 8r ~ yp ~n/µw* .
Nous obtenons la condition e » p ;;;;: 1. Le résultat obtenu plus haut n' a de sens que dans
cette limite : Ep,t : ' . : : : : ' . i~: [ -b + ~f ], qui est le développement pour t » p du résultat exact
µ e
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Ep,t = - 2ri2 (p +e)2 .
Exercice
Taille des atomes
À grande di stance, le potentiel de l' atome ionisé une fois est dû à la charge +Z du noyau et la
charge - (Z- 1) des autres électrons : Vetf(r) : ' . : : : : ' . - e
2 /r. L'échelle caractérisant le confinement du
dernier électron est donc encore le rayon de Bohr a 8 . Les atomes, dans leur état fondamental,
ont tous une taille, définie comme l' extension de la densité de probabilité électronique, de
l'ordre de l Â, V Z.
Exercice
Ions hydrogénoïdes
L' hamiltonien de l'ion hydrogénoïde est obtenu à partir de l'hamiltonien de l'atome d'hydrogène en procédant à la substitution e
2 ---? Z e
2 • Nous déduison s un rayon de Bohr Z foi s plus
petit a~ = a 0 /Z et des énergies Z
2 fois plus grandes E~ = - ~~ R .
Dans son état fondamental l'électron a une énergie Ef = - Z
2 R. Cette énergie devient de
l'ordre de l'énergie de masse, Ef ~ ~mec
2 pour Z ~ l /a : ' . : : : : ' . 137.
Exercice
Symétries de l'atome H
Nous introduisons la notation Li 4 = Ki et Lij = Eïjkek. Les relations de commutations entre
les composantes du moment cinétique et celles du vecteur de Lenz prennent la forme des
relations de commutations entre les six générateurs Lij du groupe SO( 4 ).
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