"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
Solutions des exercices et problèmes
2. a) 1 'Pi~/F) = ~ [I 1 ) © 1 2 ) ± 12 )©11 ) ] ( + pour les bosons et - pour les fermions).
b) En appliquant l' opérateur d ' évolution nous obtenons
1
1 'P::F ) = Y2 [ (1 ± 1 )(rt' 1 3 ) © 1 3 ) + r' t 1 4) © 1 4))
+ (rr' ± tt' )(13 ) © 1 4) ± 1 4 ) © 1 3 ) ) ]
c) Cas fermionique. Le cas fermionique est facile à analyser. Nous obtenons l 'P~n ) =
d~ [I3) © 1 4) - 14)©1 3)] (rappelons que 1detS1 = 1). Par conséquent la coïncidence est 7r'PF = 1 VS , i.e. quelle que soit la nature de la lame séparatrice, ce que
fin
nous interprétons facilement : les deux particules doivent se trouver à la sortie dans
les deux états 1 c/J3) et 1 cp 4 ). L'antisymétrisation ne nous laisse pas d 'autre possibilité
pour construire le vecteur.
d) Cas bosonique. Dans ce cas l 'P~n ) = v'2[rt' 1 c/J3 )©I c/J3 )+ r' t 1 c/J4 )©I c/J4)] + rr' J!/ [I c/J3 )©
1cp 4 )+1 cp 4 )©I 3 )]. On peut vérifier que le vecteur est normalisé en utilisant l' unitarité
de S. Il est plus simple et plus suggestif d' introduire la paramétrisation (5.31 ) :
B
2.,,, {i sin28[ ·c )
·r., )
J
l 'Prin)= e •ü
Y2 e '
2
n 13 ) © 1 4 ) + 1 4 ) © 1 3 ) }
+cos o
Y2
où sin 2 e = T est la probabilité de transmission à travers la lame. Le résultat est plus
compliqué dans le cas bosonique que dans le cas fermionique car nous avons plus
de liberté pour fabriquer un état symétrique (trois possibilités au lieu d ' une, cf. figure 11.2). La coïncidence est donc n'Ps = cos 2 28 = (R - T )
2 où T = ltl 2 = 1 - R.
fin
Elle est donc m aximisée, n 'P~" = 1, pour une lame totalement transparente/
réfl échi ssante T = 1 ou O. Dans ce cas les bosons restent de part et d'autre de la
lame. L'état est toutefois symétrisé. Lorsque la transmission et la réflexion sont équiprobables, R = T = 1/2, la coïncidence est minimjsée n 'P~" = O. La nature bosonique
des deux particules tend donc à les faire se regrouper spatialement.
3) Cas R = T = 1/2.
a) Si les deux particules sont classiques, nous pouvons distinguer différentes hlstoires :
initialement l'état est lf'ïnitial = (c/J1 : part. 1 & c/J2 : part. 2) et l 'état final est (1)
'Prinal = (3 : part. 1 &3 : part. 2); (2) 'Prinal = (4 : part. 1 & 4 : part. 2) ; (3)
'Prinal = (3 : part. 1 &4 : part. 2); (4) 'Prinal = (4 : part. 1 & 3 : part. 2). Puisque
T = 1/2 les quatre histoires sont équiprobables. Seules les histoires (3) & (4) donnent lieu
à une coïncidence; nous déduisons 7rcJass = 1/ 2.
b) Dans le problème nous n ' avons pas pris en compte, qu 'en pratique, les deux particules
sont décrites par des paquets d'onde ayant une certaine largeur temporelle Tc (due à l' incertitude sur l 'énergie des deux photons). On ne peut observer l' interférence à deux photons que si l' intervalle de temps séparant l' arrivée des deux photons est inférieur à Tc.
345
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
Solutions des exercices et problèmes
2. a) 1 'Pi~/F) = ~ [I 1 ) © 1 2 ) ± 12 )©11 ) ] ( + pour les bosons et - pour les fermions).
b) En appliquant l' opérateur d ' évolution nous obtenons
1
1 'P::F ) = Y2 [ (1 ± 1 )(rt' 1 3 ) © 1 3 ) + r' t 1 4) © 1 4))
+ (rr' ± tt' )(1
c) Cas fermionique. Le cas fermionique est facile à analyser. Nous obtenons l 'P~n ) =
d~ [I
fin
nous interprétons facilement : les deux particules doivent se trouver à la sortie dans
les deux états 1 c/J3) et 1 cp 4 ). L'antisymétrisation ne nous laisse pas d 'autre possibilité
pour construire le vecteur.
d) Cas bosonique. Dans ce cas l 'P~n ) = v'2[rt' 1 c/J3 )©I c/J3 )+ r' t 1 c/J4 )©I c/J4)] + rr' J!/ [I c/J3 )©
1cp 4 )+1 cp 4 )©I
de S. Il est plus simple et plus suggestif d' introduire la paramétrisation (5.31 ) :
B
2.,,, {i sin28[ ·c )
·r., )
J
l 'Prin)= e •ü
Y2 e '
2
n 1
+cos o
Y2
où sin 2 e = T est la probabilité de transmission à travers la lame. Le résultat est plus
compliqué dans le cas bosonique que dans le cas fermionique car nous avons plus
de liberté pour fabriquer un état symétrique (trois possibilités au lieu d ' une, cf. figure 11.2). La coïncidence est donc n'Ps = cos 2 28 = (R - T )
2 où T = ltl 2 = 1 - R.
fin
Elle est donc m aximisée, n 'P~" = 1, pour une lame totalement transparente/
réfl échi ssante T = 1 ou O. Dans ce cas les bosons restent de part et d'autre de la
lame. L'état est toutefois symétrisé. Lorsque la transmission et la réflexion sont équiprobables, R = T = 1/2, la coïncidence est minimjsée n 'P~" = O. La nature bosonique
des deux particules tend donc à les faire se regrouper spatialement.
3) Cas R = T = 1/2.
a) Si les deux particules sont classiques, nous pouvons distinguer différentes hlstoires :
initialement l'état est lf'ïnitial = (c/J1 : part. 1 & c/J2 : part. 2) et l 'état final est (1)
'Prinal = (3 : part. 1 &
'Prinal = (3 : part. 1 &
T = 1/2 les quatre histoires sont équiprobables. Seules les histoires (3) & (4) donnent lieu
à une coïncidence; nous déduisons 7rcJass = 1/ 2.
b) Dans le problème nous n ' avons pas pris en compte, qu 'en pratique, les deux particules
sont décrites par des paquets d'onde ayant une certaine largeur temporelle Tc (due à l' incertitude sur l 'énergie des deux photons). On ne peut observer l' interférence à deux photons que si l' intervalle de temps séparant l' arrivée des deux photons est inférieur à Tc.
345