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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
lever le «paradoxe». Toutefois la nature «attractive/ répulsive» du diffuseur en 3D
est définie conventionnellement par comparaison du signe de la longueur de diffusion as d~f - limk_,o f avec le résultat obtenu pour une sphère dure (potentiel répulsif).
Nous avons obtenu dans l'exerice l 0 . 12 que a~spheredure) >O. Ce qui confirme l'interprétation «paradoxale» que l'état lié existe dans le cas où l'impureté est répulsive ,
ÀR > 0, puisque as = ÀR/ (47r).
Pour en savoir plus
Sur le Pseudo-potentiel, cf. § 10.5 de : K. Huang, Statistical mechanics, John Wiley &
Sons (1963).
La procédure de renormalisation a été discutée dans la référence : R. Jackiw, o-function
potentials in two- and three-dimensional quantum mechanics, in M. A. B. Bég memorial
volume, edited by A. Ali & P. Hoodbhoy, p. 1, World Scientific, Singapore (1991).
Pseudo-potentiel en 2D : M. Olshanii & L. Pricoupenko, Rigorous Approach to the Problem of Ultraviolet Divergencies in Dilute Bose Gases, Phys. Rev. Lett. 88(1), 010402
(2001).
CHAPITRE 11
Exercice
On construit les états en faisant des dessins analogues à ceux de la figure 11.2. On trouve dim~isc = 4
3 = 64, dimYZbosons = 20 et dim3"Cfermions = 4.
Exercice
Hypothèse (fausse) pre-1930 : Un noyau de numéro A avec Z protons
contient (A - Z) paires proton-électron et Z protons. Le nombre de fermions serait 2(A -Z) + Z
et aurait donc la parité de Z. Selon cette hypothèse
1
~C serait un boson et
1
~N un fermion.
Nous savons aujourd'hui que le noyau est constitué de (A - Z) neutrons et Z protons, i.e.
A fermions. C'est donc la parité de A qui détermine la nature bosonique/fermionique. Si A
est impair (comme
1
~C) le noyau est un fermion. Si A est pair (comme
1
~ N) le noyau est un
boson.
Exercice
L'harmonique sphérique r;
1 est état propre de la parité avec la valeur
propre (-l)e (§ 8.1.4). La fonction d'onde à deux bosons, !/Jbos (fJ, ne doit donc être décomposée que sur les Y;1 avec f pairs. Le developpement (1 0.56) ne porte donc que sur les moments
orbitaux f pairs (on peut écrire T/2n+ I = 0 pour éliminer la contribution des f impairs).
-
Problème : Corrélations quantiques de la lumière
1. L'orthonormalisation des vecteurs initiaux est (
sts = l (S est la matrice qui représente l 'opérateur'U dans la base considérée).
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
lever le «paradoxe». Toutefois la nature «attractive/ répulsive» du diffuseur en 3D
est définie conventionnellement par comparaison du signe de la longueur de diffusion as d~f - limk_,o f avec le résultat obtenu pour une sphère dure (potentiel répulsif).
Nous avons obtenu dans l'exerice l 0 . 12 que a~spheredure) >O. Ce qui confirme l'interprétation «paradoxale» que l'état lié existe dans le cas où l'impureté est répulsive ,
ÀR > 0, puisque as = ÀR/ (47r).
Pour en savoir plus
Sur le Pseudo-potentiel, cf. § 10.5 de : K. Huang, Statistical mechanics, John Wiley &
Sons (1963).
La procédure de renormalisation a été discutée dans la référence : R. Jackiw, o-function
potentials in two- and three-dimensional quantum mechanics, in M. A. B. Bég memorial
volume, edited by A. Ali & P. Hoodbhoy, p. 1, World Scientific, Singapore (1991).
Pseudo-potentiel en 2D : M. Olshanii & L. Pricoupenko, Rigorous Approach to the Problem of Ultraviolet Divergencies in Dilute Bose Gases, Phys. Rev. Lett. 88(1), 010402
(2001).
CHAPITRE 11
Exercice
On construit les états en faisant des dessins analogues à ceux de la figure 11.2. On trouve dim~isc = 4
3 = 64, dimYZbosons = 20 et dim3"Cfermions = 4.
Exercice
Hypothèse (fausse) pre-1930 : Un noyau de numéro A avec Z protons
contient (A - Z) paires proton-électron et Z protons. Le nombre de fermions serait 2(A -Z) + Z
et aurait donc la parité de Z. Selon cette hypothèse
1
~C serait un boson et
1
~N un fermion.
Nous savons aujourd'hui que le noyau est constitué de (A - Z) neutrons et Z protons, i.e.
A fermions. C'est donc la parité de A qui détermine la nature bosonique/fermionique. Si A
est impair (comme
1
~C) le noyau est un fermion. Si A est pair (comme
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~ N) le noyau est un
boson.
Exercice
L'harmonique sphérique r;
1 est état propre de la parité avec la valeur
propre (-l)e (§ 8.1.4). La fonction d'onde à deux bosons, !/Jbos (fJ, ne doit donc être décomposée que sur les Y;1 avec f pairs. Le developpement (1 0.56) ne porte donc que sur les moments
orbitaux f pairs (on peut écrire T/2n+ I = 0 pour éliminer la contribution des f impairs).
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Problème : Corrélations quantiques de la lumière
1. L'orthonormalisation des vecteurs initiaux est (
sts = l (S est la matrice qui représente l 'opérateur'U dans la base considérée).
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