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Solutions des exercices et problèmes
Nous avons précisément retrouvé le résultat donné par le pseudo-potentiel. Le poids renormalisé coïncide avec le poids du pseudo-potentiel, (B.33).
5) Cas bidimensionnel. Nous suivons la même logique: 1-G~(ro,0) = 1- 2
1
n ln(kro) + i --?
)R - 2
1
n ln(ka) + i· Nous obtenons l'amplitude de diffusion
f
=
1
1
1
.•
2i Y2irrk 1/ ÀR - 2 n ln(ka) + *
(B.35)
L'amplitude de diffusion diverge à basse énergie, selon le comportement (1 0.50). Ceci
contraste avec la situation 3D où l'amplitude de diffusion tend vers une limite finie. L' effet de la diffusion par un potentiel localisé est renforcé en allant vers les basses dimensions.
6) État lié en dimensions d = 1, 2, 3. Nous partons du résultat (B.29) de l'exercice 10.9.
Nous voyons que l' amplitude de diffusion décrivant la diffusion sur un potentiel 8 présente
la structure f ex: 1/(1 - G~(r 0 , O)]. Pour détermjner l'existence ou non d'état lié (i.e. une
propriété à E < 0) nous utilisons les propriétés d 'analyticité de la solution de l'équation de
Schrodinger (i.e. l'amplitude de diffusion f). Celle-ci est une fonction analytique de l'énergie avec une coupure sur l'axe réel positif. Dans le problème nous avons paramétré l' énergie
comme E = +k
2 + iQ+. Le prolongement analytique de l'amplitude de diffusion f(E) pour
E E
i) Cas d = 1. Dans ce cas nous pouvons simplement utili ser (1 0.66) : nous obtenons
f(k
2 ) = À/[2ik - À]. Le prolongement analytique nous donne f(E) = -À/[À + 2 -V-"EJ pour
E E
2 si À < 0 (potentiel attractif).
ii) Cas d = 2. Nous procédons au prolongement analytique de l' expression obtenue plus
haut: nous obtenons f(E) ex: 1/[l/ ÀR - 2 ~ ln( -V-"Ea)] pour E E
1
2 exp ~n V ÀR (il existe toujours un état lié end = 2, que
a
"R
l'impureté soit attractive, À.R < 0, ou répulsive, À.R > 0). Puisque le sens physique de l'échelle
a et du poids renormalisé n' est pas très clair, nous exprimons l'amplitude de diffusion en
fonction du paramètre physique Eo : f(k
2 ) = ..fi[i. ln(k 211 i oD+in avec Eo = - ~ 2 e
4
nf ÀR.
iii) Cas d = 3. En suivant la même logique que dans le cas bidimensionnel nous obtenons
f(E) = -À.Rf [4n-ÀR -V-"EJ pour E E
répul sif ÀR > 0 (et non dans le cas attractif ÀR < 0). Cela nous rappelle uniquement que le
sens physique des paramètres microscopiques introduits dans l' hamiltonien n' est pas clair,
c'est pourquoi il est plus judicieux d'exprimer l'amplitude de diffusion en terme de l'énergie
IEol (qui correspond à l'énergie de l'état lié pour ÀR > 0) f(k
2 ) = - ~+i k avec IEol = Ci;>2.
Remarque sur le cas 3D
Le résultat obtenu en 30 est surprenant (un état lié si l'impureté est répulsive , À.R > 0,
et pas d'état lié si elle est attractive, ÀR < 0). Pui sque nou s avons remarqué que le sens
physique des paramètres microsco piques ne va pas de so i, nous pourrion s imaginer
définir la nature « attractive/répulsive» par l'exi stence d'un état lié, ce qui semblerait
343
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5) Cas bidimensionnel. Nous suivons la même logique: 1-G~(ro,0) = 1- 2
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L'amplitude de diffusion diverge à basse énergie, selon le comportement (1 0.50). Ceci
contraste avec la situation 3D où l'amplitude de diffusion tend vers une limite finie. L' effet de la diffusion par un potentiel localisé est renforcé en allant vers les basses dimensions.
6) État lié en dimensions d = 1, 2, 3. Nous partons du résultat (B.29) de l'exercice 10.9.
Nous voyons que l' amplitude de diffusion décrivant la diffusion sur un potentiel 8 présente
la structure f ex: 1/(1 - G~(r 0 , O)]. Pour détermjner l'existence ou non d'état lié (i.e. une
propriété à E < 0) nous utilisons les propriétés d 'analyticité de la solution de l'équation de
Schrodinger (i.e. l'amplitude de diffusion f). Celle-ci est une fonction analytique de l'énergie avec une coupure sur l'axe réel positif. Dans le problème nous avons paramétré l' énergie
comme E = +k
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i) Cas d = 1. Dans ce cas nous pouvons simplement utili ser (1 0.66) : nous obtenons
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2 si À < 0 (potentiel attractif).
ii) Cas d = 2. Nous procédons au prolongement analytique de l' expression obtenue plus
haut: nous obtenons f(E) ex: 1/[l/ ÀR - 2 ~ ln( -V-"Ea)] pour E E
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a et du poids renormalisé n' est pas très clair, nous exprimons l'amplitude de diffusion en
fonction du paramètre physique Eo : f(k
2 ) = ..fi[i. ln(k 211 i oD+in avec Eo = - ~ 2 e
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iii) Cas d = 3. En suivant la même logique que dans le cas bidimensionnel nous obtenons
f(E) = -À.Rf [4n-ÀR -V-"EJ pour E E
répul sif ÀR > 0 (et non dans le cas attractif ÀR < 0). Cela nous rappelle uniquement que le
sens physique des paramètres microscopiques introduits dans l' hamiltonien n' est pas clair,
c'est pourquoi il est plus judicieux d'exprimer l'amplitude de diffusion en terme de l'énergie
IEol (qui correspond à l'énergie de l'état lié pour ÀR > 0) f(k
2 ) = - ~+i k avec IEol = Ci;>2.
Remarque sur le cas 3D
Le résultat obtenu en 30 est surprenant (un état lié si l'impureté est répulsive , À.R > 0,
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