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0
N
@
.......
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O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
2/Tn ~ An/(lqel~ Va) donne donc le temps passé par l'électron dans la cavité mésoscopique (de taille L :$ lµm). Nous obtenons r(En) ~ An/(lqel~ Va) :::: 60x 1012 s= 60ps,
ce qui est relativement long comparativement au temps typique passé dans la cavité
L/vp :::: 3 ps (pour VF :::: 0.3 10
6 m/s).
Cette mesure requiert une très basse température pour que les pics ne soient pas
brouillés par moyennage thermique, i.e. il faut que En+J - En » ksT. Sur la figure
nous voyons en effet que En+ 1 - En ~ 30 µeV alors que T = 30 mK correspondent à
3µeV.
Pour en savoir plus
La relation entre matrice S et capacité mésoscopique a été discutée dans plusieurs travaux
de Markus Büttiker: M. Büttiker, H. Thomas & A. Prêtre, Mesoscopic capacitors, Phys.
Lett. A 180, 364 (1993).
-
Problème : Interaction ponctuelle en d ~ 2
L'action du Dirac modifié est définie par 6(1) ~r 8(1) g.r.
....
1) Une fonction régulière peut être développée à l'origine comme t/Jreg(P) = t/Jreg(O) +
_, _,
_,
-
_
81/!rcg _
_,
r · '11/Jreg(O) + · · · donc 6(1)1/Jreg(P) - 6(1) (t/Jreg (P) + r--a;-) - t/Jreg(0)6(1).
2) t/f(1) = t/Jreg(P) + ~. On a 6(1) ~ = 8(1) gr (r~) = O. La distribution 6 élimine la partie singulière.
3) On peut écrire l'état stationnaire sous la forme : t/Jk(1) = t/Jreg(P) + ~ où t/Jreg(P) =
eik-r + ~(eikr - 1). On vérifie sans peine que -~t/Jreg = k
2 t/f. En utilisant que -~~ = 4n8(1)
on a finalement -~t/J = k
2 t/f + 4nf8(1) . D'autre part 6(1)1/J = t/Jreg(0)8(1) = (1 + ikf)8(1). En
injectant ces deux dernières relations dans l'équation de Schrëdinger, nous obtenons
f = -
À
4JT + ikÀ
(B.33)
La limite de basse énergie nous donne la longueur de diffusion as = - lim f = 4
A : la longueur
k->O
n
de diffusion est en effet plus grande que la portée du potentiel (ici nulle) !
Remarque : Portée générale de ces résultats
Il est intéressant de remarquer que ces résultats coïncident précisément avec ceux de
l'exercice l 0.1 3 dans lequel l'amplitude de basse énergie a été obtenue à l'aide du
théorème optique, sans aucune hypothèse sur le potentiel. Cette remarque souligne
que les propriétés de basse énergie ne sont pas sensibles aux détails du potentiel.
Autrement dit« vu de loin, tout potentiel suffisamment concentré autour de l'origine
ressemble à un potentiel ô ».
4) Procédure de renormalisation. Nous appliquons la procédure de renormalisation sur
l'état stationnaire obtenu dans l' exercice 10.9. En utilisant (1 0.68), G~(r, 0) = - 4 ~,.eikr ,
l'équation (B .29) nous donne immédiatement:
1
1
regularisation -1
1
renormalisation -1
1
f = - 4n l /À - Gt(O, 0)
~
4n 1/A - Gt(ro, 0)
~
4n -1/_À_R_+_i-k/-(4_n_)°
(B.34)
342
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
2/Tn ~ An/(lqel~ Va) donne donc le temps passé par l'électron dans la cavité mésoscopique (de taille L :$ lµm). Nous obtenons r(En) ~ An/(lqel~ Va) :::: 60x 1012 s= 60ps,
ce qui est relativement long comparativement au temps typique passé dans la cavité
L/vp :::: 3 ps (pour VF :::: 0.3 10
6 m/s).
Cette mesure requiert une très basse température pour que les pics ne soient pas
brouillés par moyennage thermique, i.e. il faut que En+J - En » ksT. Sur la figure
nous voyons en effet que En+ 1 - En ~ 30 µeV alors que T = 30 mK correspondent à
3µeV.
Pour en savoir plus
La relation entre matrice S et capacité mésoscopique a été discutée dans plusieurs travaux
de Markus Büttiker: M. Büttiker, H. Thomas & A. Prêtre, Mesoscopic capacitors, Phys.
Lett. A 180, 364 (1993).
-
Problème : Interaction ponctuelle en d ~ 2
L'action du Dirac modifié est définie par 6(1) ~r 8(1) g.r.
....
1) Une fonction régulière peut être développée à l'origine comme t/Jreg(P) = t/Jreg(O) +
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2) t/f(1) = t/Jreg(P) + ~. On a 6(1) ~ = 8(1) gr (r~) = O. La distribution 6 élimine la partie singulière.
3) On peut écrire l'état stationnaire sous la forme : t/Jk(1) = t/Jreg(P) + ~ où t/Jreg(P) =
eik-r + ~(eikr - 1). On vérifie sans peine que -~t/Jreg = k
2 t/f. En utilisant que -~~ = 4n8(1)
on a finalement -~t/J = k
2 t/f + 4nf8(1) . D'autre part 6(1)1/J = t/Jreg(0)8(1) = (1 + ikf)8(1). En
injectant ces deux dernières relations dans l'équation de Schrëdinger, nous obtenons
f = -
À
4JT + ikÀ
(B.33)
La limite de basse énergie nous donne la longueur de diffusion as = - lim f = 4
A : la longueur
k->O
n
de diffusion est en effet plus grande que la portée du potentiel (ici nulle) !
Remarque : Portée générale de ces résultats
Il est intéressant de remarquer que ces résultats coïncident précisément avec ceux de
l'exercice l 0.1 3 dans lequel l'amplitude de basse énergie a été obtenue à l'aide du
théorème optique, sans aucune hypothèse sur le potentiel. Cette remarque souligne
que les propriétés de basse énergie ne sont pas sensibles aux détails du potentiel.
Autrement dit« vu de loin, tout potentiel suffisamment concentré autour de l'origine
ressemble à un potentiel ô ».
4) Procédure de renormalisation. Nous appliquons la procédure de renormalisation sur
l'état stationnaire obtenu dans l' exercice 10.9. En utilisant (1 0.68), G~(r, 0) = - 4 ~,.eikr ,
l'équation (B .29) nous donne immédiatement:
1
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regularisation -1
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1
f = - 4n l /À - Gt(O, 0)
~
4n 1/A - Gt(ro, 0)
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(B.34)
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