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Solutions des exercices et problèmes
-
Problème : Temps de Wigner et capacité quantique
1. Dans la région« asymptotique» (où V(x) = 0) la solution générale est de la forme 1/fk(x) =
e- ikx + re+ikx, décrivant la superposition d' une onde incidence et d ' une onde réfléchie. Le
courant associé est Jiftk = ~lm [ lftZ dfxk] = - ~~ + ~~ lrl
2
= 0 à cause du mur réfléchissant à
l'origine, d'où lrl = 1.
2. a) Si x > L les deux paquets d' onde prennent la forme tPincCx, t) = fo
00
dk
q(k - ko) e- ik(x- L)- iEkrf"fi et tPref(X, t) = Jo dk q(k - ko) eik(x-L)+2iT/(Ed- iEkrf"fi . Si q(k) est
de largeur 8k, les deux paquets d'onde sont de largeur au moins ôx ~ 1/ôk (la largeur
spatiale du paquet d'ondes croît avec le temps si on tient compte de la dispersion, cf.
exercice 5.3).
b) L' intégrale sur k est dominée par le voisinage de ko :
tfJinc(X, t)
e- iko(x- L)- iE1qi t/1i J dK g(K) e- iK[x- L+vk 0 t]-i
1
~~ 1
1
::::::
e- iko(x-L)- iE1qi t/1i
t.p(-x + L - Vkot) où Vk = nk/ m est la vitesse de groupe et t.p(x) ~f J dk g(k) eikx_ Dans
la dernière étape, nous avons négligé la dispersion, i.e. le terme ;:r dans l'exponentielle, responsable de l'étalement du paquet d'ondes (cf. exercice 5.3). Nous
procédons de la même manière pour le paquet d ' ondes réfléchi : nous négligeons les
termes quadratiques en K = k - ko du développement de Ek mai s aussi de 17(Ek).
L, t) :::::: e- ilko(x-L)+Ekotffil t.p(-x + L - Vkot )
L, t) :::::: ei[ko(x- L)- Ekotf1i+2T/(Eko)l t.p(X - L - Vko[t - T(Eko)]).
(B.31)
(B.32)
Les deux paquets d'onde sont centrés sur des positions respectives Xinc(t) = L - Vk 0 t
et XreFCt) = L + Vko [t - T(Ek 0 )]. Cette dernière expression montre que le paquet d' ondes
réfléchi est en retard d ' un temps T(Ek 0
). Le retard est dû au potentiel.
3. a) 17 = n donc T = O. Ce cas définit une situation de référence.
b) Si on écrit la solution libre, l/tk(x) ex: sin kx sur R+ , sous la forme (1 0.78) on obtient
217(Ek) = 2kL + n d 'où T(Ek) = 2L/vk. qui est bien le temps nécessaire pour effectuer
1' aller-retour dans [O, L].
c) On obtient facilement le profil de Breit-Wigner (lorentzienne) caractéristique d' un
h '
'
d '
(E)
2 t.
tir,,/ 2 rr
L' . '
I d
.
d
p enomene e resonance, T
:::::: nn (E- E,,)2+(1ir,,/ 2 )2 •
mtegra e u pic est one
J dE T(E) :::::: 2nn. Si l'énergie de l'onde incidente coïncide avec la résonance, le
temps passé dans la région d ' interaction est T(En) :::::: 2/I'n (inverse de la largeur de
résonance).
4. a) L' intégrale du temps de Wigner compte les pics de résonance. Puisque chaque pic
compte pour 2nn, nous pouvons interpréter le temps de Wigner comme la densité
d'états dans la région d' interaction p (E) ~ 2 !ti T(E) [cette relation est l'essence de
celle di scutée dans le cours, équation (1 0.24); les différences entre les deux formules
viennent de différentes conventions sur les phases des ondes; dans le problème le
temps de Wigner mesure l'intégrale de la densité d'états locale foL dxp(x; E)].
b) Les pics observés expérimentalement dans la capacité mésoscopique correspondent
aux pics de résonance du temps de Wigner T(E) . La largeur des pics est donc
lqe l~ VG ~ Arn. La valeur maximale du temps de Wigner au niveau d ' un pic T(E 11 ) ::::::
341
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Problème : Temps de Wigner et capacité quantique
1. Dans la région« asymptotique» (où V(x) = 0) la solution générale est de la forme 1/fk(x) =
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courant associé est Jiftk = ~lm [ lftZ dfxk] = - ~~ + ~~ lrl
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2. a) Si x > L les deux paquets d' onde prennent la forme tPincCx, t) = fo
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spatiale du paquet d'ondes croît avec le temps si on tient compte de la dispersion, cf.
exercice 5.3).
b) L' intégrale sur k est dominée par le voisinage de ko :
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procédons de la même manière pour le paquet d ' ondes réfléchi : nous négligeons les
termes quadratiques en K = k - ko du développement de Ek mai s aussi de 17(Ek).
(B.31)
(B.32)
Les deux paquets d'onde sont centrés sur des positions respectives Xinc(t) = L - Vk 0 t
et XreFCt) = L + Vko [t - T(Ek 0 )]. Cette dernière expression montre que le paquet d' ondes
réfléchi est en retard d ' un temps T(Ek 0
). Le retard est dû au potentiel.
3. a) 17 = n donc T = O. Ce cas définit une situation de référence.
b) Si on écrit la solution libre, l/tk(x) ex: sin kx sur R+ , sous la forme (1 0.78) on obtient
217(Ek) = 2kL + n d 'où T(Ek) = 2L/vk. qui est bien le temps nécessaire pour effectuer
1' aller-retour dans [O, L].
c) On obtient facilement le profil de Breit-Wigner (lorentzienne) caractéristique d' un
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résonance).
4. a) L' intégrale du temps de Wigner compte les pics de résonance. Puisque chaque pic
compte pour 2nn, nous pouvons interpréter le temps de Wigner comme la densité
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b) Les pics observés expérimentalement dans la capacité mésoscopique correspondent
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