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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
-
Problème : Résistance électrique d'un fil quantique 1 D
1. 'PE,cr(x) = Neicrk(E)x où k(E) = k Y2mE. On déduit ( 'PE,cr l 'PE',cr') = N 2 2n8(a-k(E) -
a-'k(E')). L'argument de 8(· ··)doit s'annuler, donc a-a-' = +.D'autre part on utilise (2.60):
('PE,cr l'PE',cr') = N
2
2n8cr,cr' (d~
8(E - E'). Nous reconnaissons la vitesse de groupe
v(E) = k ct 2tb. Finalement N = 1/ yhv(E) où h = 2nn (notons que N
2 est la densité d' états
unidimensionnelle par unité de volume).
2. a) Dans les régions asymptotiques JE,+ (x ---? -oo) = * (1-1 rl
2
) et J E,+ (x ---? +oo) = * ltl
2
:
la normalisation compense exactement la vitesse apparaissant par dérivation de la
fonction d'onde. La conservation du courant conduit donc à 1 - lrl
2
= ltl
2 (la densité de courant de l'état stationnaire est constante en dimension d = 1). De même
1 - lr'l
2 = lt'l
2 .
b) W' = Jif;' - f['h = fi(V- E)fi - (V- E)fih =O.
c) On calcule Je Wronskien dans les deux région s asymptotiques hv(E) W['PE,- ; 'PE,+ ]
= 2ikt' = 2ikt d'où t = t' (en ID il y a égalité des amplitudes et pas seulement des
modules).
3. a) On obtient le courant
340
(B.30)
où nous avons utili sé t = t'. La contribution nette au courant provient des états de
l'intervalle E E [EF, EF + qe V] dont le courant des états gauches n 'est pas compensé
par celui des états droits. E F est appelée l' énergie de Fermi (cf. chapitre 11 ou le cours
de physique statistique).
b) Dans la limite V ---? 0 on obtient une relation courant-tension linéaire /(V ---?
c)
2
0) : : : : : : ~; lt(EF)l
2 V, ce qui permet de définir la résistance associée à la barrière :
l /'R = lt(EF )1
2 /'RK (formule de Landauer) où 'RK = h/q; est la constante de von
Klitzing.
Si on prend en compte la dégénérescence de spin, le courant est doublé : l/'R =
2lt(EF)l 2 /'RK. L' application numérique donne 'RK/2 : : : : : : 12.9 kQ. La fi gure montre la
conductance d'une constriction (inverse de la résistance) lorsque celle-ci est progressivement ouverte. Celle-ci se comporte comme un guide d'onde en électromagnétisme, avec des modes de tran smission. En augmentant V 9 on augmente Je
nombre de modes qui tran smettent. La conductance est approximativement quantifiée
G = 1/'R ~ 2Nc/'RK où Ne est Je nombre de modes tran smis. Le premier « plateau »
con-espond en effet à G ~ 2q;Jh (un mode dégénéré en spin transmi s), le second à
G ~ 4q;/h (deux modes transmis), etc.
Pour en savoir plus
On pourra consulter l'ouvrage introductif [ 11 ].
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
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Problème : Résistance électrique d'un fil quantique 1 D
1. 'PE,cr(x) = Neicrk(E)x où k(E) = k Y2mE. On déduit ( 'PE,cr l 'PE',cr') = N 2 2n8(a-k(E) -
a-'k(E')). L'argument de 8(· ··)doit s'annuler, donc a-a-' = +.D'autre part on utilise (2.60):
('PE,cr l'PE',cr') = N
2
2n8cr,cr' (d~
8(E - E'). Nous reconnaissons la vitesse de groupe
v(E) = k ct 2tb. Finalement N = 1/ yhv(E) où h = 2nn (notons que N
2 est la densité d' états
unidimensionnelle par unité de volume).
2. a) Dans les régions asymptotiques JE,+ (x ---? -oo) = * (1-1 rl
2
) et J E,+ (x ---? +oo) = * ltl
2
:
la normalisation compense exactement la vitesse apparaissant par dérivation de la
fonction d'onde. La conservation du courant conduit donc à 1 - lrl
2
= ltl
2 (la densité de courant de l'état stationnaire est constante en dimension d = 1). De même
1 - lr'l
2 = lt'l
2 .
b) W' = Jif;' - f['h = fi(V- E)fi - (V- E)fih =O.
c) On calcule Je Wronskien dans les deux région s asymptotiques hv(E) W['PE,- ; 'PE,+ ]
= 2ikt' = 2ikt d'où t = t' (en ID il y a égalité des amplitudes et pas seulement des
modules).
3. a) On obtient le courant
340
(B.30)
où nous avons utili sé t = t'. La contribution nette au courant provient des états de
l'intervalle E E [EF, EF + qe V] dont le courant des états gauches n 'est pas compensé
par celui des états droits. E F est appelée l' énergie de Fermi (cf. chapitre 11 ou le cours
de physique statistique).
b) Dans la limite V ---? 0 on obtient une relation courant-tension linéaire /(V ---?
c)
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2 V, ce qui permet de définir la résistance associée à la barrière :
l /'R = lt(EF )1
2 /'RK (formule de Landauer) où 'RK = h/q; est la constante de von
Klitzing.
Si on prend en compte la dégénérescence de spin, le courant est doublé : l/'R =
2lt(EF)l 2 /'RK. L' application numérique donne 'RK/2 : : : : : : 12.9 kQ. La fi gure montre la
conductance d'une constriction (inverse de la résistance) lorsque celle-ci est progressivement ouverte. Celle-ci se comporte comme un guide d'onde en électromagnétisme, avec des modes de tran smission. En augmentant V 9 on augmente Je
nombre de modes qui tran smettent. La conductance est approximativement quantifiée
G = 1/'R ~ 2Nc/'RK où Ne est Je nombre de modes tran smis. Le premier « plateau »
con-espond en effet à G ~ 2q;Jh (un mode dégénéré en spin transmi s), le second à
G ~ 4q;/h (deux modes transmis), etc.
Pour en savoir plus
On pourra consulter l'ouvrage introductif [ 11 ].