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Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Diffusion par une sphère dure en 1 D: déphasages
a) La solution doit satisfaire Uk ,m(ro) = 0 donc Uk,m(r) = Nm(kro) lm(kr) - lm(kro) Nm(kr).
b) Le comportement asymptotique de cette solution est (annexe A)
uk,m(r ~ oo) ~ }r[Nm(kro) cos(kr - lml~ - ~) - lm(kro) sin(kr - lml~ - ~)].En posant
cos 1Jm = Nm(kro)/D et sin 1Jm = lm(kro)/D avec D = ..,/ lm(kro) 2 + Nm(kro) 2 , la solution se
' . t
(
)
1
(k· 1 l rr
rr) C
.
t·
t
(E) - J ,,,(kro)
reecn uk,m r ~ oo ~ y,. cos r - m 2 - 17 111 - 4 . e qui mon re que an 1Jm
- N,,,(kro).
c) En utilisant les formules de l'annexe A, nous obtenons 1Jm*o(E ~ 0) ::::: - (1:~7~ 2 (kro/2)
2
1
111
1
et 17o(E ~ 0) ::::: ~ ln1
(kro/2). Nous retrouvons le comportement (10.50) attendu génériquement.
Remarque
Nous nous attendons à ce que ces résultats décrivent assez génériquement la diffusion de basse énergie sur un potentiel localisé en 20: en effet, lorsque E ~ 0 l'onde
ne sonde que des propriétés globales du potentiel, comme f dr V(r), mais n'est pas
sensible aux détails particuliers comme la forme précise du potentiel.
Exercice
En 3D, la partie radiale de l'onde partielle lf/k,e,mC1> = Re(r)Y;
1 (e, cp) obéit
à l'équation [ - :; 2 + t(~~J) + V(r)- k
2 ]rRe(r) =O. Considérons le cas de l' onde s: on obtient
Ro(r) = +.sin k(r - ro). Nous avons vu dans le cours que les déphasages sont définis sur le
comportement asymptotique des ondes partielles comme Re(r ~ oo) ::::: +. sin(kr - ~e + 1Je)
d 'où 1Jo(E) = -kro. Dans la limite de basse énergie l'amplitude de diffusion est dominée par
la contribution de l' onde s, d'où a s ~ - limk-.O f = - limk-.O t1Jo (vrai en général). Dans le
cas de la sphère dure nous obtenons une longueur de diffusion a s = ro. La section efficace
correspondante est donc limk-.O CT = 4nrü , i.e. 4 fois la section du diffuseur nrü (ce facteur 4
est un effet de la diffraction).
Exercice
Diffusion de basse énergie en 3D
a) Dans la limite de basse énergie la diffusion est isotrope, donc f est indépendant des angles.
La section efficace totale est donc simplement CT ::::: 4nlfl
2 . En utilisant (10.54) nous déduisons 1!1
2 ::::: t lm[j] i.e. lm[ 1/ f] ::::: -k.
b) Le théorème optique donne une contrainte très forte sur l'amplitude de diffusion de basse
énergie : en toute généralité 1/ f : : : : : -K - ik où K E R Le signe de K est corrélé à l'existence
ou non d'un état lié (cf. problème 10.3 corrigé ci-dessous). On peut relier K au déphasage
en le paramétrant comme K ~ k cotg 17 0 • On obtient bien f = 2 :k (e
2 i 170 - 1). Nous pouvons
ainsi analyser la dépendance en énergie du déphasage 17 0 :::: arctan(k/K).
c) Lorsque k ~ K la section efficace est CT :::: l/K
2 . Il n' y aucun rapport entre K et la portée
du potentiel r 0 . Dans la limite de basse énergie r 0 n'est en général pas l'échelle pertinente
caractérisant CT (dans le problème 10.3 nous verrons qu'on peut avoir ro = 0 mais CT finie).
La diffusion de basse énergie sur un état peu lié (K ~ 0) a été discutée par E. Wigner en 1933
puis H. Bethe et R. Peierls en 1935 (cf. [30], § 133).
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Exercice
Diffusion par une sphère dure en 1 D: déphasages
a) La solution doit satisfaire Uk ,m(ro) = 0 donc Uk,m(r) = Nm(kro) lm(kr) - lm(kro) Nm(kr).
b) Le comportement asymptotique de cette solution est (annexe A)
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Remarque
Nous nous attendons à ce que ces résultats décrivent assez génériquement la diffusion de basse énergie sur un potentiel localisé en 20: en effet, lorsque E ~ 0 l'onde
ne sonde que des propriétés globales du potentiel, comme f dr V(r), mais n'est pas
sensible aux détails particuliers comme la forme précise du potentiel.
Exercice
En 3D, la partie radiale de l'onde partielle lf/k,e,mC1> = Re(r)Y;
1 (e, cp) obéit
à l'équation [ - :; 2 + t(~~J) + V(r)- k
2 ]rRe(r) =O. Considérons le cas de l' onde s: on obtient
Ro(r) = +.sin k(r - ro). Nous avons vu dans le cours que les déphasages sont définis sur le
comportement asymptotique des ondes partielles comme Re(r ~ oo) ::::: +. sin(kr - ~e + 1Je)
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la contribution de l' onde s, d'où a s ~ - limk-.O f = - limk-.O t1Jo (vrai en général). Dans le
cas de la sphère dure nous obtenons une longueur de diffusion a s = ro. La section efficace
correspondante est donc limk-.O CT = 4nrü , i.e. 4 fois la section du diffuseur nrü (ce facteur 4
est un effet de la diffraction).
Exercice
Diffusion de basse énergie en 3D
a) Dans la limite de basse énergie la diffusion est isotrope, donc f est indépendant des angles.
La section efficace totale est donc simplement CT ::::: 4nlfl
2 . En utilisant (10.54) nous déduisons 1!1
2 ::::: t lm[j] i.e. lm[ 1/ f] ::::: -k.
b) Le théorème optique donne une contrainte très forte sur l'amplitude de diffusion de basse
énergie : en toute généralité 1/ f : : : : : -K - ik où K E R Le signe de K est corrélé à l'existence
ou non d'un état lié (cf. problème 10.3 corrigé ci-dessous). On peut relier K au déphasage
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ainsi analyser la dépendance en énergie du déphasage 17 0 :::: arctan(k/K).
c) Lorsque k ~ K la section efficace est CT :::: l/K
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La diffusion de basse énergie sur un état peu lié (K ~ 0) a été discutée par E. Wigner en 1933
puis H. Bethe et R. Peierls en 1935 (cf. [30], § 133).
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