"'O
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Fonction de Green libre 1 D
a) On utilise le résultat de l'exercice 10.6. Considérons le cas des énergies E < 0 Dans le
cas libre J±(x) = e+Ux d'où W = 2-Y-°E. On obtient g 0 (x , x'; E) = - 2
~e- U(x>-x<).
En remarquant que x> - x< = lx - x' 1 on obtient le résultat demandé.
b) La fonction de Green présente une coupure sur JR+ (le spectre de H 0 ). En utilisant
Y-E + iO+ = +i VE pour E E JR+, on obtient les fonctions de Green retardée/avancée
G±(x x'· E) = '-1 (x x'· E ± iO+) = ±- 1 -e±iYElx-x'I équation (10 66)
o • '
~ 0 •
'
2i v'E
'
. . .
c) La fonction de Green est discontinue de part et d'autre de la coupure. On obtient
G~(x, x'; E) - G 0 (x, x'; E) = - JE cos( YE(x - x')) = -2in 4
Jr~[ei YE(x- x') + e-i YE(x-x')].
Nous reconnaissons le produit de fonctions d'onde libres t/JE,± (x) = ~e±i v'Ex [le pré47r VE
facteur coïncide précisément avec la constante de normalisation assurant ( t/JE,cr 1 t/JE' ,cr' ) =
Ôcr,cr'ô(E - E')]. Finalement nous interprétons la discontinuité comme G~(x, x'; E) -
G 0 (x , x'; E) = -2in( x lô(E - Ho)I x') = -2in l:a-=± t/JE,a-(x)t/J~ a-Cx') . À points coïncidents
la discontinuité correspond à la densité d 'états par unité de lo~gueur.
Exercice
Équation de Dyson (10.29) prend la forme G(r, r') = G 0 (r, r') +
Go(r, 0).1G(O, r'). En posant r = 0 nous obtenons G(O, r') = Go(O, r')/[1 - .1Go(O, O)], d'où
(10.74).
Exercice
États de diffusion et matrice T pour une impureté ô
La solution de l'équation de Lippmann-Schwinger (1 0.30) prend la forme t/J+(r) = t/J(O)(r) +
G+(r, 0),lt/f(O)(O). En utilisant (10.74) on obtient
(B.29)
où t/J(O)(r) est une onde plane.
Nous étudions la matrice y + = V + VG+v. Toujours à l'aide de (1 0.74) on obtient
T+(r,r';E) ~f (rlT+(E)lr') = 8(r) l/A-J~(O,O)ô(r'). À l'ordre le plus bas T+(r,r';E) ~
À 8(r) 8(r') = À ( r lô(r)I r' ).
L'approximation de Born d'ordre 1, éq. (10.42), nous donne t/J+(r) (Bo~ I ) tfi(O)(r) +
G~(r, 0),.Itfi(O)(O), ce qui est bien le premier terme d'un développement de (B.29) en puissances de À.
Exercice
On calcule facilement la transformée de Fourier du potentiel V(i/) =
4n Vo sin qro - q;o cos qro où q = k' - k. Son module s'exprime e n terme de 1' angle de diffusion
q
.... ....
comme q = 2k sin(B/2). On déduit l'amplitude à l'approximation de Born 1 : f(k ' , k) ~
-
2
m;t
0
~ [ sin qr 0 - qr 0 cos qr 0 ]. Dans la limite de basse énergie (valable si V 0 « n\) on
q
~~
..., ...,
m Vor 2
2
obtient f(k ' , k) ~ - ;1i 2 ° ro « ro. Ce qui donne une section efficace totale cr « r 0 .
338
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Fonction de Green libre 1 D
a) On utilise le résultat de l'exercice 10.6. Considérons le cas des énergies E < 0 Dans le
cas libre J±(x) = e+Ux d'où W = 2-Y-°E. On obtient g 0 (x , x'; E) = - 2
~e- U(x>-x<).
En remarquant que x> - x< = lx - x' 1 on obtient le résultat demandé.
b) La fonction de Green présente une coupure sur JR+ (le spectre de H 0 ). En utilisant
Y-E + iO+ = +i VE pour E E JR+, on obtient les fonctions de Green retardée/avancée
G±(x x'· E) = '-1 (x x'· E ± iO+) = ±- 1 -e±iYElx-x'I équation (10 66)
o • '
~ 0 •
'
2i v'E
'
. . .
c) La fonction de Green est discontinue de part et d'autre de la coupure. On obtient
G~(x, x'; E) - G 0 (x, x'; E) = - JE cos( YE(x - x')) = -2in 4
Jr~[ei YE(x- x') + e-i YE(x-x')].
Nous reconnaissons le produit de fonctions d'onde libres t/JE,± (x) = ~e±i v'Ex [le pré47r VE
facteur coïncide précisément avec la constante de normalisation assurant ( t/JE,cr 1 t/JE' ,cr' ) =
Ôcr,cr'ô(E - E')]. Finalement nous interprétons la discontinuité comme G~(x, x'; E) -
G 0 (x , x'; E) = -2in( x lô(E - Ho)I x') = -2in l:a-=± t/JE,a-(x)t/J~ a-Cx') . À points coïncidents
la discontinuité correspond à la densité d 'états par unité de lo~gueur.
Exercice
Équation de Dyson (10.29) prend la forme G(r, r') = G 0 (r, r') +
Go(r, 0).1G(O, r'). En posant r = 0 nous obtenons G(O, r') = Go(O, r')/[1 - .1Go(O, O)], d'où
(10.74).
Exercice
États de diffusion et matrice T pour une impureté ô
La solution de l'équation de Lippmann-Schwinger (1 0.30) prend la forme t/J+(r) = t/J(O)(r) +
G+(r, 0),lt/f(O)(O). En utilisant (10.74) on obtient
(B.29)
où t/J(O)(r) est une onde plane.
Nous étudions la matrice y + = V + VG+v. Toujours à l'aide de (1 0.74) on obtient
T+(r,r';E) ~f (rlT+(E)lr') = 8(r) l/A-J~(O,O)ô(r'). À l'ordre le plus bas T+(r,r';E) ~
À 8(r) 8(r') = À ( r lô(r)I r' ).
L'approximation de Born d'ordre 1, éq. (10.42), nous donne t/J+(r) (Bo~ I ) tfi(O)(r) +
G~(r, 0),.Itfi(O)(O), ce qui est bien le premier terme d'un développement de (B.29) en puissances de À.
Exercice
On calcule facilement la transformée de Fourier du potentiel V(i/) =
4n Vo sin qro - q;o cos qro où q = k' - k. Son module s'exprime e n terme de 1' angle de diffusion
q
.... ....
comme q = 2k sin(B/2). On déduit l'amplitude à l'approximation de Born 1 : f(k ' , k) ~
-
2
m;t
0
~ [ sin qr 0 - qr 0 cos qr 0 ]. Dans la limite de basse énergie (valable si V 0 « n\) on
q
~~
..., ...,
m Vor 2
2
obtient f(k ' , k) ~ - ;1i 2 ° ro « ro. Ce qui donne une section efficace totale cr « r 0 .
338