-0
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
......
..c
CJl
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
En utilisant (8.85) on obtient cr~ = 1. Les valeurs propres de toute composante de if sont donc ± 1. La matrice est donnée par cru = cos cos 8CTz :
_ ( cos 8 e - i<,0 sin 8)
(T
-
.
u
e
1
'P sin 8 - cos 8
(B.19)
Nous reconnaissons la matrice étudiée au chapitre 5 dont les vecteurs propres sont donc
1 û, +) = cos(8/2) 1 +) + ei 1 û, - ) = - sin(8/2) 1 + ) + ei\O cos(8/2) 1- ).
(B.20)
(B.21)
Le calcul du spin moyen est aisé, par exemple (S z>i û, + > = < û, + IS zl û, +) = cos(8/2)
2 -
sin(8/2)
2 = cos 8, etc. Lorsque l'état de spin est 1 û, + ), le spin pointe en moyenne dans la
direction i1 :
(B.22)
Exercice
Noton s iJ = ê/8 = - sin cos(8/2) - icrvsin(8/2) où cru = -sin ipcrx + cosipcry, on vérifie facilement que R(ê)I +) =
1 û, + ), ce qu'on attendait puisque la rotation R(ê) envoie le vecteur Uz dans la direction
(8,
L'opérateur de position de l' atome sur l'écran est proportionnel à la composante du moment z ~ KMz. On obtient donc (2s + 1) taches. À la limite s » 1 on détecte les
atomes le long d'un segment sur l'écran: on retrouve l'idée que la limite des grands nombres
quantiques coïncide avec les résultats classiques.
Exercice
On utilise le résultat de l' exercice 8.2. En terme des c7 = y~n y4rr/(2t + 1)
on obtient: f(1) =(a+ c r
2 )Cg + 2br[C?-C:J + c r
2
[2C~ + Y2c2
1 + Ci -C2
2 ].
Exercice
On a évidemment [l; , 2 f1~ - Ze
2
] = 0 puisque lli'ill et jP sont deux opérateurs
~
~
l
scalaires. On obtient[~ , f(riJ)] = inti x r 1 ,.
1 J'(riJ) (le commutateur n'est pas nul puisque l;
1)
ne génère les rotations que dans l' espace de Hilbert de la particule i mais pas dans l'espace
de Hilbert des autres particules). Toutefois nous voyons que [l; +li, f( riJ)] = 0: f(riJ) est un
scalaire du point de vue des rotations engendrées par l; + 1 1 .
Exercice
D' après (B.22) on obtient (S u) 1 û,+ > = ~Û·Û. Puisque cr~ = 1 on a (S~)l i 7, + > =
t~ et finalement
b.S 1 ~ > = ~ ~ 1 - (û · V- 2 •
V U,+
2
li)
(B.23)
Lorsque le spin pointe (en moyenne) dans la direction û, les composantes du spin perpendiculaires au vecteur, si û · iJ = 0, présentent les fluctuation s maximales.
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
En utilisant (8.85) on obtient cr~ = 1. Les valeurs propres de toute composante de if sont donc ± 1. La matrice est donnée par cru = cos cos 8CTz :
_ ( cos 8 e - i<,0 sin 8)
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(B.19)
Nous reconnaissons la matrice étudiée au chapitre 5 dont les vecteurs propres sont donc
1 û, +) = cos(8/2) 1 +) + ei 1 û, - ) = - sin(8/2) 1 + ) + ei\O cos(8/2) 1- ).
(B.20)
(B.21)
Le calcul du spin moyen est aisé, par exemple (S z>i û, + > = < û, + IS zl û, +) = cos(8/2)
2 -
sin(8/2)
2 = cos 8, etc. Lorsque l'état de spin est 1 û, + ), le spin pointe en moyenne dans la
direction i1 :
(B.22)
Exercice
Noton s iJ = ê/8 = - sin cos(8/2) - icrvsin(8/2) où cru = -sin ipcrx + cosipcry, on vérifie facilement que R(ê)I +) =
1 û, + ), ce qu'on attendait puisque la rotation R(ê) envoie le vecteur Uz dans la direction
(8,
L'opérateur de position de l' atome sur l'écran est proportionnel à la composante du moment z ~ KMz. On obtient donc (2s + 1) taches. À la limite s » 1 on détecte les
atomes le long d'un segment sur l'écran: on retrouve l'idée que la limite des grands nombres
quantiques coïncide avec les résultats classiques.
Exercice
On utilise le résultat de l' exercice 8.2. En terme des c7 = y~n y4rr/(2t + 1)
on obtient: f(1) =(a+ c r
2 )Cg + 2br[C?-C:J + c r
2
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Exercice
On a évidemment [l; , 2 f1~ - Ze
2
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scalaires. On obtient[~ , f(riJ)] = inti x r 1 ,.
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1)
ne génère les rotations que dans l' espace de Hilbert de la particule i mais pas dans l'espace
de Hilbert des autres particules). Toutefois nous voyons que [l; +li, f( riJ)] = 0: f(riJ) est un
scalaire du point de vue des rotations engendrées par l; + 1 1 .
Exercice
D' après (B.22) on obtient (S u) 1 û,+ > = ~Û·Û. Puisque cr~ = 1 on a (S~)l i 7, + > =
t~ et finalement
b.S 1 ~ > = ~ ~ 1 - (û · V- 2 •
V U,+
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(B.23)
Lorsque le spin pointe (en moyenne) dans la direction û, les composantes du spin perpendiculaires au vecteur, si û · iJ = 0, présentent les fluctuation s maximales.
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