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Solutions des exercices et problèmes
4. a) On utilise à nouveau la décomposition de la question 2. On déduit immédiatement
11/Ja(t)) = e-!lal
2 e-~ wi l:::' =o ~e-inwil 'Pn ). On remarque que cet état est encore un
état cohérent, de paramètre complexe a(t) ~ ae- îwt. Autrement dit la dépendance
temporelle peut être absorbée dans le paramètre complexe: 11/JaCt)) = e-~ w
1
1 a(t) ).
b) Les propriétés de 11/Ja(t)), i.e. de l'état cohérent 1 a(t)) sont immédiatement obtenues (question 1) : (x)!/la(1) = Y21al cos(wt - ry) et (p)l/Ja(t) = - Y21al sin(wt - ry) où
a = lalei11. Nous remarquons que ces valeurs moyennes suivent la trajectoire classique (x)!/Jœ (I) = Xclass(t) et
l/Ja(l) = Pclass(t) où Xc1ass(t) et Pclass(t) sont les solutions
des équations du mouvement classiques (cf. exercice 5.5). La dispersion de l'état
dans l'espace des phases classique reste minimale !1xl/J"(t)l1pl/JaCl) = n/2. Les états cohérents suivent« au plus près » la solution classique, d'où la dénomination de « quasiclassique ».
5. La fonction d'onde est solution de Ccfr + x)l/fa(x; t) = v'2a(t)l/J(r(x; t) = [Xclass(t) +
ipciassCt)J!/Ja (x; t). L' équation différentielle est résolue sans difficulté. Après normalisation on
obtient une gaussienne centrée sur la trajectoire classique (idem dans l'espace des impulsions):
,/, (X t) = _ 1 _ e -! (x-Xc1ass(l))2+ipc1ass(l)X
'l'a
'
rrl /4
et
,/, (p t) = _ l_ e -! [P-Pc1ass(t)]2-ixc1assCt)p (B.16)
'l'a
'
rrl /4
.
CHAPITRE 8
Exercice
Les Z moments agissent dans des espaces de Hilbert disctincts, donc comD
[L L ] _ °"Z [ p(n) p(n) ] _ °"Z •t::.
p(n) _ ·t::.
L Q
mutent. one i• J - L..n=I t,i , t, J - L..n= I lr1EijkLk - lnEijk k· ED.
Exercice
Nous exprimons les résultats en fonction des C~
1
= Ae rr où A e =
y4rr/(2f + 1). L' intérêt de ces nouvelles fonctions est qu 'elles satisfont la relation de normalisation l:~=-e IC~(B, cp)l
2 = 1.
En utilisant X = cos cp sine, y = sin cp sin g et z = cos e, nous obtenons
0
± 1
)
1
. )
C 1 (8,cp) = z et
C 1 (8,cp = + Y2(x±1y.
D'où ( e, cp 11, X> = A 1 X, ( e, cp 11, y> = A 1 y et ( e, cp 11 , y> = A 1 z, avec A 1 = y3/( 4rr).
Pour t = 2:
Cî
1 = + ./[ (x ± iy)z et Cî
2 = .JI (x
2 - y
2 ± 2ixy).
(B.17)
(B.18)
Exercice
En utilisant [ri , PJ] = inôiJ on verifie explicitement que [Îi , r 1 ] = inEiJkh et
donc [Îi , P
2 ] = inEijk (r/k + ré1) =O.
Exercice
Spectre Zeeman du sodium
La différence d'énergie entre niveaux Zeeman est !1E = E3p, 12 .- 112 - E3s, 12 ,+112 =
Cste-(q3p 112 ! + 93s, 12 !>lµslB =Cste-1 1µslB. Posons !1E = hc/À2, on obtient ~: =
4
~;l
8
• Il
faut donc un champ B =
6
~~~~1c = 4.6 T, ce qui suggère que Zeeman avait besoin d'électroaimants puissants.
333