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0
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N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
'd' 1 h A
•
fi . N
<;,n - <;,m
- mwo N L.., Q
1
sin(Q/ 2 )
1
•
1 on cons1 ere a c ame m me, -? oo, on
remplace la somme sur les modes par une intégrale d'où
( Ql(§n - §m) 2 1 Q ) = l!!__ f +rr dQ sin
2
[~(n - m)/
2 ]
~ _l!!._ ln ln - ml (B.15)
mwo - n 2rr
1 sm(Q/2)1
ln- ml» 1 mworr
Cette expression décrit l'effet des fluctuations quantiques des oscillateurs dans leur état
fondamental. La limite de grande distance est analysée en remarquant que l'intégrale est
dominée par le voisinage de Q -? 0 dans ce cas : - fou df beiQ(n-m) ~ ~ln ln - ml. Les
fluctuations de positions des atomes de la chaîne croissent logarithmiquement avec la
distance. Les fluctuations quantiques détruisent 1' ordre à longue portée : dans l'état fon2
matière).
~ Problème : États cohérents
1. a) On utilise alœ) = œlœ) et (œlat = œ*(œ l. On obtient (N)a = lœl 2 et (N 2 )a =
(œ lataatalœ) = (œ la t (ata + l)alœ ) = lœl
4 + lœl 2 d'où !::,.Na = lœl. On déduit
(H )a = 1iw(lœl 2 + ~)et /::,.Ha = 1iwlœl. Si lœl » 1 les fluctuations relatives de l'énergie
sont petites /::,.Ha/(H )a ~ 1/ lœl.
b) En utilisant x = (a+at)/ Y2 et p = (a-at)/i Y2 on obtient (x)a = Y2Re[œ] et (p )a =
Y2Im[œ]. Le plan complexe de la variable œ s' interprète donc comme le plan de
((x), (p )), i.e. comme l'espace des phases classiques. Le calcul des fluctuations donne
t:,..-Ç = !::,.pZr = ~ d'où /::,.xa /::,.P(r = 1i/2: les états cohérents ont une di spersion minimale
dans l'espace des phases classique (alors que la dispersion des états stationnaires croît
avec 1 'énergie, exercice 7 .5).
2. En écrivant 1 œ) = L:;:o c 11 I 'Pn) et en utilisant la définition del' état cohérent nous obtenons
_r::.
-
d',
,
1· . (" oo 1 1 2 - J) 1 ) - _l lof " oo a'' 1 ) -
y n C 11 - ΠCn- l, OU, apres norma JSat1on L..,n = O C 11 -
, Œ - e 2 L..,n= O y;;ï_ i.p 11 -
e-~ lal
2
e aât 1 'Po); la seconde représentation est obtenue en utilisant (7.22). Si Je système
se trouve dans l'état cohérent, la probabilité qu'il soit observé dans l' état stationnaire est
Proba[mesure de N ~ n] = 1( 1.p 11 1 œ )1 2 = k~~n e-lal
2 (distribution de Poisson).
3. a) Le produit scalaire de deux états cohérents est ( œ 1 œ' )
=
332
exp -~(lœ - œ'l 2 - œ* œ' + œœ'*), i.e. 1( œ 1 œ' )1 2 = e- la- a' l
2
• Les états cohérents
étant états propres d'un opérateur non hermitique, ils ne sont pas orthogonaux. Ils
forment une base dite « surcomplète » .
b) En utilisant la décomposition de l'état cohérent sur les états stationnaire
J
d Re ad Im a I œ )( œ I
=
" oo _ 1 '1'11 ><' Pm 1 J dRead lm(}' e- lal
2 œn(œ*r.
L' intén
L.., n,m- 0
.../n!m!
7r
grale sur œ se calcule facilement en coordonnées polaires (i.e. en posant
œ
reil:I) : J dReandima e-lal2 œn(œ*r
~ fooo dr r r'i+me- r2 fo2n dtJeil:l(n- m) =
Ô 11 ,m fo
00
d(r 2 ) r 2 ne-r
2 = n!ô 11 ,m. Injectant ce résultat dans la relation de fermeture
démontre la relation: J dReandima lœ)(œl = L::=o l'Pn )('Pn 1= 1.
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Cette expression décrit l'effet des fluctuations quantiques des oscillateurs dans leur état
fondamental. La limite de grande distance est analysée en remarquant que l'intégrale est
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~ Problème : États cohérents
1. a) On utilise alœ) = œlœ) et (œlat = œ*(œ l. On obtient (N)a = lœl 2 et (N 2 )a =
(œ lataatalœ) = (œ la t (ata + l)alœ ) = lœl
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sont petites /::,.Ha/(H )a ~ 1/ lœl.
b) En utilisant x = (a+at)/ Y2 et p = (a-at)/i Y2 on obtient (x)a = Y2Re[œ] et (p )a =
Y2Im[œ]. Le plan complexe de la variable œ s' interprète donc comme le plan de
((x), (p )), i.e. comme l'espace des phases classiques. Le calcul des fluctuations donne
t:,..-Ç = !::,.pZr = ~ d'où /::,.xa /::,.P(r = 1i/2: les états cohérents ont une di spersion minimale
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2 (distribution de Poisson).
3. a) Le produit scalaire de deux états cohérents est ( œ 1 œ' )
=
332
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• Les états cohérents
étant états propres d'un opérateur non hermitique, ils ne sont pas orthogonaux. Ils
forment une base dite « surcomplète » .
b) En utilisant la décomposition de l'état cohérent sur les états stationnaire
J
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" oo _ 1 '1'11 ><' Pm 1 J dRead lm(}' e- lal
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démontre la relation: J dReandima lœ)(œl = L::=o l'Pn )('Pn 1= 1.