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Solutions des exercices et problèmes
à chacune de ces énergies sont donc associés tous les états 1 n )x © 1 n' )y tels que
N = n + n'. La dégénérescence de EN est donc donnée par le nombre de façons de partitionner l'entier N comme la somme de deux entiers: dN = L :=o L ;=O ÔN,n+n' = N + 1.
Contrairement au cas wx/Wy E Q, ces dégénérescences résultent d ' une symétrie du
problème (la symétrie de rotation dans le plan xOy) .
Remarque
Au lieu de considérer les états propres de H sous la forme 1n )x© 1 n' >v• il peut se
révéler plus intéressant de construire des états propres communs à H et l'opération
de symétrie
1 (c'est ce qui sera fait dans l'exercice 16.3). Les nouveaux états propres
sont des combinaisons linéaires des 1n )x© 1 n' )y , et n'ont plus cette forme factorisée,
cependant la nouvelle classification (en fonction du moment orbital) montre explicitement la relation entre l'invariance par rotation et les dégénérescences.
Exercice
Le problème est séparable. Une base d' états stationnaires est donnée par les
états 'Pn (x)cpn (y)cpn,(Z) où 'Pn(x) sont les états stationnaires du problème unidimensionnel.
X
y
...
Le spectre des énergies est donc EN = nw(N + ~) : les énergies ne dépendent que d' un
nombre quantique principal N = nx + ny + nz E N. La dégénérescence du niveau est dN =
L :;:,ny.n,=OÔN,n.,+ny+n, = L~,=OL~-:ci' 1 = L~,=o(N- nx + 1) = 4CN + l)(N + 2). Le calcul
pourrait se généraliser pour les dimensions supérieures.
Exercice
Chaîne d'oscillateurs couplés
La transformée de Fourier inverse est Ç 11 = .JH L QXQeiQn (on pourra utiliser-}:; Ln eiQn = ÔQ,O
pour Q E [- n, +n ]).
a) Le terme cinétique est Ln~~ = -}:; Ln LQ,Q' XoXQ'ei(Q+Q')n = LQ lkQl
2 • De même le
terme potentiel s' exprime en fonction des nouvelles variables w6 L 11 (Ç 11 - Çn- 1 )
2 =
w6 LQ lxQl
2 11 - e- iQj2 = LQ w~lxQl2 où nous avons introduit WQ ctg" 2wol sin(Q/2)1 avec
Q E [- n, +n]. Finalement le lagrangien décrit un ensemble d ' oscillateurs découplés en
terme des variables (xQ.XQ). Ces variables décrivent les modes propres de vibration et
WQ est le spectre de fréquences propres de vibrations (pour l'instant tout est classique).
Le moment canoniquement conjugué de la coordonnée XQ est 'lrQ ~r 8
8 .L = mx-Q· L' haXQ
miltonien est donc H = LQ ( 2 ~1nQl
2 + 4 mw~lxQl
2
).
b) La quantification du problème est réalisée en imposant IX Q• if Q'] = inoQ,Q' . Le spectre
des N oscillateurs indépendants est aisément obtenu : les états propres de H sont des
produits tensoriels d'états propres (7 .22) pour chaque oscillateur, notés 1 {nQ} ) où nQ E N
est l'excitation du mode Q (le nombre de« phonons » dans le mode). L'énergie de cet état
est E[{nQ}] = LQ nwQ(nQ + 4).
c) Puisque les oscillateurs sont découplés on a ( {nQHtoXQ' I {nQ}) = ÔQ,- Q' m
2
;Q (nQ + 4)
(le facteur 2 supplémentaire, par rapport au résultat de l'exercice 7.5, vient de ce que
ltQ l
2 est relié à l' énergie potentielle de deux oscillateurs indépendants, XQ et X - Q).
L'état fondamental de la chaîne (le vide d 'excitation) est 1 Q ) = 1 {nQ = O} ). On obtient
1. Toute combinaison lineaire des états propres associés à la valeur propre dégénérée EN est encore état
propre avec la même valeur propre.
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Contrairement au cas wx/Wy E Q, ces dégénérescences résultent d ' une symétrie du
problème (la symétrie de rotation dans le plan xOy) .
Remarque
Au lieu de considérer les états propres de H sous la forme 1n )x© 1 n' >v• il peut se
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1 (c'est ce qui sera fait dans l'exercice 16.3). Les nouveaux états propres
sont des combinaisons linéaires des 1n )x© 1 n' )y , et n'ont plus cette forme factorisée,
cependant la nouvelle classification (en fonction du moment orbital) montre explicitement la relation entre l'invariance par rotation et les dégénérescences.
Exercice
Le problème est séparable. Une base d' états stationnaires est donnée par les
états 'Pn (x)cpn (y)cpn,(Z) où 'Pn(x) sont les états stationnaires du problème unidimensionnel.
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Le spectre des énergies est donc EN = nw(N + ~) : les énergies ne dépendent que d' un
nombre quantique principal N = nx + ny + nz E N. La dégénérescence du niveau est dN =
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pourrait se généraliser pour les dimensions supérieures.
Exercice
Chaîne d'oscillateurs couplés
La transformée de Fourier inverse est Ç 11 = .JH L QXQeiQn (on pourra utiliser-}:; Ln eiQn = ÔQ,O
pour Q E [- n, +n ]).
a) Le terme cinétique est Ln~~ = -}:; Ln LQ,Q' XoXQ'ei(Q+Q')n = LQ lkQl
2 • De même le
terme potentiel s' exprime en fonction des nouvelles variables w6 L 11 (Ç 11 - Çn- 1 )
2 =
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Q E [- n, +n]. Finalement le lagrangien décrit un ensemble d ' oscillateurs découplés en
terme des variables (xQ.XQ). Ces variables décrivent les modes propres de vibration et
WQ est le spectre de fréquences propres de vibrations (pour l'instant tout est classique).
Le moment canoniquement conjugué de la coordonnée XQ est 'lrQ ~r 8
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miltonien est donc H = LQ ( 2 ~1nQl
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b) La quantification du problème est réalisée en imposant IX Q• if Q'] = inoQ,Q' . Le spectre
des N oscillateurs indépendants est aisément obtenu : les états propres de H sont des
produits tensoriels d'états propres (7 .22) pour chaque oscillateur, notés 1 {nQ} ) où nQ E N
est l'excitation du mode Q (le nombre de« phonons » dans le mode). L'énergie de cet état
est E[{nQ}] = LQ nwQ(nQ + 4).
c) Puisque les oscillateurs sont découplés on a ( {nQHtoXQ' I {nQ}) = ÔQ,- Q' m
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(le facteur 2 supplémentaire, par rapport au résultat de l'exercice 7.5, vient de ce que
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2 est relié à l' énergie potentielle de deux oscillateurs indépendants, XQ et X - Q).
L'état fondamental de la chaîne (le vide d 'excitation) est 1 Q ) = 1 {nQ = O} ). On obtient
1. Toute combinaison lineaire des états propres associés à la valeur propre dégénérée EN est encore état
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