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N
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.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
CHAPITRE 7
Exercice
À une échelle d'énergie E le potentiel harmonique confine la particule sur
ox ~ t YEfiiï. Puisque la particule fait des aller-retours dans Je puits op~ v;rïE. En utilisant
oxo p ;(: n on obtient t E ;(: n. L'énergie du fondamental est donc Eo ~ nw.
Exercice
lw = 1 Â ~ w ::::: 10
16 ç
1 et nw ::::: 6 eV. La raideur est k = 100 N/m=
10 nN/Â.
Exercice
Analyse dimensionnelle : [n/mw] = ML
2 T -
1 T/M = L 2 . Ok. [mwn] =
MT- 1 ML 2 T -
1 = (ML/T) 2 = [impulsion] 2 . QED.
Exercice
li,on) = ~at l'Pn- I ) = ~(at)
2
l'Pn-2) = · · · = Jn-yCat rli,oo). QED.
Exercice
Pour simplifier Je calcul nous faisons m = w = n = 1. Les moyennes
sont (x)' P
11
= ~(a+ at)' P
11
= 0 (conséquence du confinement par un potentiel symétrique)
et (x 2 )' P
11
= !
= (H)'P
11
= n + !·Nous pouvions nous attendre à ce résultat
puisque !
11
= !En (la moyenne de l'énergie potentielle est la moitié de l'énergie mécanique, d' après le théorème du viriel). De même (p)' P
11
= 0 (conséquence du confinement) et
(p 2 )' P,, = n + ! (l'énergie cinétique moyenne est ! (p
2 )' P,, = ! E, 1 ). En rétablissant m, w et 1i (cf.
exercice 7.3): ~x~ 1 1 = (x 2 )' P 11 = ,:w(n +!)et ~P~,, = mwn(n + ~).D'où ~x'P 11 ~p'P 11 = n(n + ~).
La dispersion des états stationnaires dans l'espace des phases classique, minimale pour l'état
fondamental l 'Po ) , croît avec l'énergie.
Exercice
Oscillateur harmonique 20
a) Le problème est séparable: l' hamiltonien est de la forme (3.46) (cf.§ 3.3.4). Connaissant
les résultats pour un oscillateur harmonique unidimensionnel, nous déduisons immédiatement le spectre de valeurs propres: En,n' = nwx(n + ~) + nwu(n' + ~)avec n, n' E N.
Les fonctions d'onde correspondantes sont 'Pn,n' (f) = ip~' (x) i,o:,u (y) où la fonction i,o~(x)
est donnée par (7.25 ).
b) • Si le rapport w xfwy f/.. Q, le spectre ne présente aucune dégénérescence.
330
• Dégénérescences accidentelles: Wx/wy E Q. Des dégénérescences apparaissent lorsque
le rapport des pulsations est un rationnel : Wxf Wu = p/q où p, q E N* . Écrivons dans ce
cas Wx = pwo et Wy = qwo. Les énergies prennent la forme: En,n' = nwo(np+n' q)+cste.
Nous notons la dégénérescence des niveaux: Ekq,k' p = E k'q,kp· Vk, k' E N, t.q. k * k'.
De telles dégénérescences sont dites accidentelles car elles ne résultent de l'existence
d'aucune symétrie particulière dans le problème (nous avons déjà discuté ce point dans
l'exercice 3.15).
• Dégénérescences résultant d 'une symétrie : le cas Wx = Wy = w. Dans ce cas les
énergies prennent la forme En,n' = nw(n + n' + 1). Les états propres de l'hamiltonien
l n)x ® ln')y sont repérés par deux indices mais les niveaux d'énergie peuvent être
indicés par un unique entier
EN = nw(N + 1)
pour N E N
(B.14)
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
CHAPITRE 7
Exercice
À une échelle d'énergie E le potentiel harmonique confine la particule sur
ox ~ t YEfiiï. Puisque la particule fait des aller-retours dans Je puits op~ v;rïE. En utilisant
oxo p ;(: n on obtient t E ;(: n. L'énergie du fondamental est donc Eo ~ nw.
Exercice
lw = 1 Â ~ w ::::: 10
16 ç
1 et nw ::::: 6 eV. La raideur est k = 100 N/m=
10 nN/Â.
Exercice
Analyse dimensionnelle : [n/mw] = ML
2 T -
1 T/M = L 2 . Ok. [mwn] =
MT- 1 ML 2 T -
1 = (ML/T) 2 = [impulsion] 2 . QED.
Exercice
li,on) = ~at l'Pn- I ) = ~(at)
2
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Exercice
Pour simplifier Je calcul nous faisons m = w = n = 1. Les moyennes
sont (x)' P
11
= ~(a+ at)' P
11
= 0 (conséquence du confinement par un potentiel symétrique)
et (x 2 )' P
11
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puisque !
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2 )' P,, = ! E, 1 ). En rétablissant m, w et 1i (cf.
exercice 7.3): ~x~ 1 1 = (x 2 )' P 11 = ,:w(n +!)et ~P~,, = mwn(n + ~).D'où ~x'P 11 ~p'P 11 = n(n + ~).
La dispersion des états stationnaires dans l'espace des phases classique, minimale pour l'état
fondamental l 'Po ) , croît avec l'énergie.
Exercice
Oscillateur harmonique 20
a) Le problème est séparable: l' hamiltonien est de la forme (3.46) (cf.§ 3.3.4). Connaissant
les résultats pour un oscillateur harmonique unidimensionnel, nous déduisons immédiatement le spectre de valeurs propres: En,n' = nwx(n + ~) + nwu(n' + ~)avec n, n' E N.
Les fonctions d'onde correspondantes sont 'Pn,n' (f) = ip~' (x) i,o:,u (y) où la fonction i,o~(x)
est donnée par (7.25 ).
b) • Si le rapport w xfwy f/.. Q, le spectre ne présente aucune dégénérescence.
330
• Dégénérescences accidentelles: Wx/wy E Q. Des dégénérescences apparaissent lorsque
le rapport des pulsations est un rationnel : Wxf Wu = p/q où p, q E N* . Écrivons dans ce
cas Wx = pwo et Wy = qwo. Les énergies prennent la forme: En,n' = nwo(np+n' q)+cste.
Nous notons la dégénérescence des niveaux: Ekq,k' p = E k'q,kp· Vk, k' E N, t.q. k * k'.
De telles dégénérescences sont dites accidentelles car elles ne résultent de l'existence
d'aucune symétrie particulière dans le problème (nous avons déjà discuté ce point dans
l'exercice 3.15).
• Dégénérescences résultant d 'une symétrie : le cas Wx = Wy = w. Dans ce cas les
énergies prennent la forme En,n' = nw(n + n' + 1). Les états propres de l'hamiltonien
l n)x ® ln')y sont repérés par deux indices mais les niveaux d'énergie peuvent être
indicés par un unique entier
EN = nw(N + 1)
pour N E N
(B.14)