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Solutions des exercices et problèmes
1 cos ka+ {k sin kal ~ 1, ce qui est satisfait sur un ensemble d'intervalles de E (des bandes
d'énergie), ainsi que le montre la figure B.2 (en haut à gauche). Le spectre des énergies
est continu par morceaux : il est constitué d'une infinité de bandes En(K) avec n E N* et
K E [ -n, +n].
e) Si le cristal est fini et contient M mailles, le paramètre de Bloch est quantifié Km = m ~
où m E {l, · · · , M} pour assurer t/JK(x +Ma) = t/JK(x)eikM = t/JK(x). La densité d'états
par unité de volume est Q(E) = ~ap(E) = ~a 2.n,K"' 8(E - E 11 (Km)). En prenant la limite
M ~ oo nous obtenons Q(E) = ~ L:rr ~- ~ 2.n 8(E - En(K)). Les bandes En(K) sont les
solutions de IKI = f(E) d ' où 2, 11 8(E-En(K)) = 1 ~~ l[c5(K- f(E))+ô(K + f(E))]. Finalement
la densité d'états est donnée par Q(E) = a'rrlf'(E)I. À une constante près la fonction f(E)
introduite plus haut correspond à la densité d' états intégrée foE dE' Q(E') = ~Cn ± a~f(E)
(la constante Cn E N et le signe dépendent de l'intervalle d' énergie) .
. . Problème : Groupe de Galilée
1. a) p' = p + mu.
b) Partons de Û(u)lx) = eîf(x,r)lx+ ut). Déterminons l'action de Û(u)t = Û(- u) sur
l'état localisé spatialement. Pour satisfaire Û(u)t û(u) = 1 il faut que Û(u)t lx) =
e- îf(x-vt,t) 1 X - ut). Nous déduisons l'action de x' sur un état localisé x' 1 X) =
Û(u)xÛ(u)t lx) = (x - ut)lx) = (x - ut)lx) d' où x' = x - ut. Une démarche similaire conduit à p' = p - mu.
2. a) Aucune difficulté.
b) Nous avons vu à la question 1. b) que la transformation des opérateurs position et
impulsion est lineaire en u. Il faut donc que [G, [G, x]] = 0 et [G, [G, p]] = 0, ce
qui est possible si G est une combinaison linéaire des deux opérateurs. En écrivant
G = - œx + f3p, nous obtenons x' = X - *uf3[p, x] = X - uf3 d ' où f3 = t. De même
p' = p - uœ d'où œ =m.
c) Le générateur du groupe de Galilée est donc 1 G =pt - mi 1. D' après le théorème
d A
•
A A
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d'Ehrenfest di(G)i /J(I) = *([H,G])i/J(i) + (7ii)i/J(t)· On obtient *[H,G] = - V'(x)t- p.
En utilisant ~~ = p nous obtenons ~(G)l/t(t) = - t (V'(x))lft(t)- Lorsque V(x) = 0
(particule libre), Gest bien une quantité conservée: ~(G)lft(r) = O. L'invariance sous
le groupe de Galilée (i.e. le principe d' inertie) implique donc que le mouvement est
rectiligne uniforme x = ~pt+cste où este= - G .
3. a) On obtient Û(u) = ekv(mx-pt) = ekmv.Xe-kvtfie-f,;mv2r_ Cette expression montre, qu ' à une
phase près, la transformation de Galilée combine une translation spatiale Tx(ut) =
e- fivt p et une translation d' impulsion de mu: Tp(mu) = e*mvx .
b) Cette dernière expression nous permet d' obtenir facilement l' action de la trans.
2
formation sur l'onde plane llf' p(t)) = l les fonctions d'onde est (x lÛ(u)l lf'p(t)) = (xle *mvxe- ); vtfi l 2 )r =
-'-d(p+mv)xe- i
)e- kEp+mv t On obtient bien la loi attendue
Y2ifi
'f' p+mv
·
Û(u)l lf'p(t)) = l lf'p+mv(t)); au passage nous avons obtenu l' expression de la phase
introduite au début de l'exercice g(p, t) = - k(~mu
2 + up)t.
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d'énergie), ainsi que le montre la figure B.2 (en haut à gauche). Le spectre des énergies
est continu par morceaux : il est constitué d'une infinité de bandes En(K) avec n E N* et
K E [ -n, +n].
e) Si le cristal est fini et contient M mailles, le paramètre de Bloch est quantifié Km = m ~
où m E {l, · · · , M} pour assurer t/JK(x +Ma) = t/JK(x)eikM = t/JK(x). La densité d'états
par unité de volume est Q(E) = ~ap(E) = ~a 2.n,K"' 8(E - E 11 (Km)). En prenant la limite
M ~ oo nous obtenons Q(E) = ~ L:rr ~- ~ 2.n 8(E - En(K)). Les bandes En(K) sont les
solutions de IKI = f(E) d ' où 2, 11 8(E-En(K)) = 1 ~~ l[c5(K- f(E))+ô(K + f(E))]. Finalement
la densité d'états est donnée par Q(E) = a'rrlf'(E)I. À une constante près la fonction f(E)
introduite plus haut correspond à la densité d' états intégrée foE dE' Q(E') = ~Cn ± a~f(E)
(la constante Cn E N et le signe dépendent de l'intervalle d' énergie) .
. . Problème : Groupe de Galilée
1. a) p' = p + mu.
b) Partons de Û(u)lx) = eîf(x,r)lx+ ut). Déterminons l'action de Û(u)t = Û(- u) sur
l'état localisé spatialement. Pour satisfaire Û(u)t û(u) = 1 il faut que Û(u)t lx) =
e- îf(x-vt,t) 1 X - ut). Nous déduisons l'action de x' sur un état localisé x' 1 X) =
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2. a) Aucune difficulté.
b) Nous avons vu à la question 1. b) que la transformation des opérateurs position et
impulsion est lineaire en u. Il faut donc que [G, [G, x]] = 0 et [G, [G, p]] = 0, ce
qui est possible si G est une combinaison linéaire des deux opérateurs. En écrivant
G = - œx + f3p, nous obtenons x' = X - *uf3[p, x] = X - uf3 d ' où f3 = t. De même
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c) Le générateur du groupe de Galilée est donc 1 G =pt - mi 1. D' après le théorème
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En utilisant ~~ = p nous obtenons ~(G)l/t(t) = - t (V'(x))lft(t)- Lorsque V(x) = 0
(particule libre), Gest bien une quantité conservée: ~(G)lft(r) = O. L'invariance sous
le groupe de Galilée (i.e. le principe d' inertie) implique donc que le mouvement est
rectiligne uniforme x = ~pt+cste où este= - G .
3. a) On obtient Û(u) = ekv(mx-pt) = ekmv.Xe-kvtfie-f,;mv2r_ Cette expression montre, qu ' à une
phase près, la transformation de Galilée combine une translation spatiale Tx(ut) =
e- fivt p et une translation d' impulsion de mu: Tp(mu) = e*mvx .
b) Cette dernière expression nous permet d' obtenir facilement l' action de la trans.
2
formation sur l'onde plane llf' p(t)) = l les fonctions d'onde est (x lÛ(u)l lf'p(t)) = (xle *mvxe- ); vtfi l 2 )r =
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introduite au début de l'exercice g(p, t) = - k(~mu
2 + up)t.
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