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>Q.
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Potentiel et peigne de Dirac - Bandes d'énergie
a) Entre deux impuretés on résout l'équation de Schrodinger libre. La solution est la combinaison de deux ondes planes l/J(x) = Aneik(x-na) + B 11 e- ik(x-na) avec E = r~~
2 • Avec ce choix
l/J(na+) = A 11 + Bn.
b) Le raccordement entre les expressions sur deux intervalles successifs assure la continuité
en x = (n + l)a: An+I + Bn+I = Aneika + B 11 e- ika. La présence du potentiel 8(x - (n + l)a)
induit une discontinuité de la dérivée l/J'((n + l)a+) - l/J'((n + l)a- ) = Àl/J((n + l)a) d'où
A
B
A ika(I
ÎÀ) B - ika(I ÎÀ) c
1 d' '
.
.
f
n+ I - n+ I = ne
- T - ne
+ T . e coupe equat10ns est mis sous orme
matricielle
( An+])= M(An)
Bn+I
Bn
où
(
1 iA
iA ) ( ika 0 )
dcf
- -
- -
e
M -
. 2k
2k.
.
-
.!.:!
1 + .!.:! 0 e- 1ka
2k
2k
(B.12)
est la matrice de transfert de l' intervalle ]na, (n + l)a] (cf. exercice 5.2 page 98).
c) Si X E]na, (n + l)a[ alors lfJK(x) = A 11 eik(x-na) + B 11 e- ik(x-na) et l/JK(x +a)= An+leik(x-na) +
B 11 + 1 e- ik(x-na>, Nous obtenons donc (An+,, Bn+ 1) = (A, 11 Bn)eiK, d' après le théorème de
Bloch.
d) La compatibilité des deux systèmes d'équations fournit l' équation de quantification
328
À
cosK =cos ka+
2
k sin ka
(B.13)
qui correspond à l'équation aux valeurs propres de la matrice de transfert. Rappelons nous
que k paramétrise l'énergie, donc nous avons obtenu l'équation de quantification sous la
forme IKI = f (E) ~ arc cos (cos ka + 2 Ak sin ka). Celle-ci admet des solutions lorsque
...
Figure B.2
.
1
.
1
1
1
' ' ' ' ' \
\
\
\
' '
En haut: Résolution graphique de l'équation de quantification : les zones grisées correspondent aux bandes d'énergie. En bas : Relation de dispersion (tournée de 90°) les cinq
premières bandes d'énergie En(K): on a tracé K = ±f(E) en fonction de ka ex: VE. À droite:
Densité d'états par unité de volume (comparée à la densité d' états libre en tirets). Les
diverg ences sont appe lées« singularités de van Hove ».
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Potentiel et peigne de Dirac - Bandes d'énergie
a) Entre deux impuretés on résout l'équation de Schrodinger libre. La solution est la combinaison de deux ondes planes l/J(x) = Aneik(x-na) + B 11 e- ik(x-na) avec E = r~~
2 • Avec ce choix
l/J(na+) = A 11 + Bn.
b) Le raccordement entre les expressions sur deux intervalles successifs assure la continuité
en x = (n + l)a: An+I + Bn+I = Aneika + B 11 e- ika. La présence du potentiel 8(x - (n + l)a)
induit une discontinuité de la dérivée l/J'((n + l)a+) - l/J'((n + l)a- ) = Àl/J((n + l)a) d'où
A
B
A ika(I
ÎÀ) B - ika(I ÎÀ) c
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+ T . e coupe equat10ns est mis sous orme
matricielle
( An+])= M(An)
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(B.12)
est la matrice de transfert de l' intervalle ]na, (n + l)a] (cf. exercice 5.2 page 98).
c) Si X E]na, (n + l)a[ alors lfJK(x) = A 11 eik(x-na) + B 11 e- ik(x-na) et l/JK(x +a)= An+leik(x-na) +
B 11 + 1 e- ik(x-na>, Nous obtenons donc (An+,, Bn+ 1) = (A, 11 Bn)eiK, d' après le théorème de
Bloch.
d) La compatibilité des deux systèmes d'équations fournit l' équation de quantification
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À
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(B.13)
qui correspond à l'équation aux valeurs propres de la matrice de transfert. Rappelons nous
que k paramétrise l'énergie, donc nous avons obtenu l'équation de quantification sous la
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En haut: Résolution graphique de l'équation de quantification : les zones grisées correspondent aux bandes d'énergie. En bas : Relation de dispersion (tournée de 90°) les cinq
premières bandes d'énergie En(K): on a tracé K = ±f(E) en fonction de ka ex: VE. À droite:
Densité d'états par unité de volume (comparée à la densité d' états libre en tirets). Les
diverg ences sont appe lées« singularités de van Hove ».