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Solutions des exercices et problèmes
ij/ implique la continuité de ij/ /t/I = [ln lt/llJ'. Cette unique condition est plus simple à manipuler car elle élimine les constantes de normalisation. Nous obtenons très directement
l'équation de quantification pour les solutions paires
k tan(ka/2) = q = ~kÔ - k 2
(B.10)
Cette équation peut être résolue graphiquement (on cherche les intersections de k tan(ka/2)
avec un arc d 'ellipse, comme représenté sur la figure B.1 ) : on trouve un nombre fini de
solutions {k 1 , • • • , kNv} auxquelles correspondent des énergies quantifiées E 11 = -Vo + r~~.
Remarquons que quelle que soit la profondeur du puits (i.e. la valeur du paramètre sans
dimension k 0 a) il existe au moins une solution.
b) Solutions impaires. tjl(x) =A sin(kx) pour x E [-a/2, +a/2 ] et tjl(x) = B sign(x)e-qlxl pour
lxl E [ +a/2, +oo[. Le raccordement des deux expressions en a/2 nous donne l 'équation de
quantification pour les solutions impaires
k cotg(ka/2) = -q = - ~k6 - k 2
(B.11)
Cette fois il n'existe de solution (impaire) que si koa ~ n (figure B.1 ).
c) Dans la limite du puits profond koa ~ oo, l'ellipse intersecte k tan(ka/2) et k cotg(ka/2)
au niveau des asymptotes, i.e. pour k 11 :::::: n~ avec n E N* (les solutions paires/impaires
correspondent aux n impairs/pairs). Nous avons retrouvé les énergies quantifiées du puits
infini (boîte de taille a, cf. § 1.5.3), comme on pouvait s' y attendre.
d) Dans la limite inverse du puits peu profond, k 0 a ~ 0, nous avons noté que seule existe
une solution paire. Notons que l'extension de la fonction d'onde est beaucoup plus grande
que la taille du puits dans ce cas, q 1 a « 1. Conclusion : aussi peu profond soit le puits,
il piège toujours au moins un état lié. Cette propriété est propre à la situation unidimensionnelle et se généralise pour tout potentiel de courte portée, globalement attractif, i.e.
t.q. J dx V(x) < O.
w ---- -------- -
10
- 10
-20
"
ka
ka
Figure B.1 - Résolution graphique des équations de quantification pour le puits
symétrique.
À gauche, énergies des solutions paires; à droite : solutions impaires. Pour la valeur de
k 0 a = 20 on trouve donc quatre so lution s paires et troi s solution s impaires .
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l'équation de quantification pour les solutions paires
k tan(ka/2) = q = ~kÔ - k 2
(B.10)
Cette équation peut être résolue graphiquement (on cherche les intersections de k tan(ka/2)
avec un arc d 'ellipse, comme représenté sur la figure B.1 ) : on trouve un nombre fini de
solutions {k 1 , • • • , kNv} auxquelles correspondent des énergies quantifiées E 11 = -Vo + r~~.
Remarquons que quelle que soit la profondeur du puits (i.e. la valeur du paramètre sans
dimension k 0 a) il existe au moins une solution.
b) Solutions impaires. tjl(x) =A sin(kx) pour x E [-a/2, +a/2 ] et tjl(x) = B sign(x)e-qlxl pour
lxl E [ +a/2, +oo[. Le raccordement des deux expressions en a/2 nous donne l 'équation de
quantification pour les solutions impaires
k cotg(ka/2) = -q = - ~k6 - k 2
(B.11)
Cette fois il n'existe de solution (impaire) que si koa ~ n (figure B.1 ).
c) Dans la limite du puits profond koa ~ oo, l'ellipse intersecte k tan(ka/2) et k cotg(ka/2)
au niveau des asymptotes, i.e. pour k 11 :::::: n~ avec n E N* (les solutions paires/impaires
correspondent aux n impairs/pairs). Nous avons retrouvé les énergies quantifiées du puits
infini (boîte de taille a, cf. § 1.5.3), comme on pouvait s' y attendre.
d) Dans la limite inverse du puits peu profond, k 0 a ~ 0, nous avons noté que seule existe
une solution paire. Notons que l'extension de la fonction d'onde est beaucoup plus grande
que la taille du puits dans ce cas, q 1 a « 1. Conclusion : aussi peu profond soit le puits,
il piège toujours au moins un état lié. Cette propriété est propre à la situation unidimensionnelle et se généralise pour tout potentiel de courte portée, globalement attractif, i.e.
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Figure B.1 - Résolution graphique des équations de quantification pour le puits
symétrique.
À gauche, énergies des solutions paires; à droite : solutions impaires. Pour la valeur de
k 0 a = 20 on trouve donc quatre so lution s paires et troi s solution s impaires .
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