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.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
L'équation de Schrodinger pour la fonction d'onde dans 1 'espace des impulsions est (exercice 3.6) in fi lf(p, t) = {: lf(p, t) + V(i1ïVp)(ÏJ(p, t). Il est facile de voir que
lfrenvUJ, t) = (ÏJ*(-p, -t) est solution de la même équation différentielle. QED.
Exercice
(xll/f') = l/J'(x) = l/f(x - a) = L.::' =o ~( - ad~tl/f(x) = e- at l/f(x) =
(x le-kaftl l/J), d ' où 11/J') = e-*a,611/J). QED.
Exercice
p commute avec les translations. Nous avons vu que T(a)xT(a) t = x-a d'où
T(na)fiT(na)t = 2 :np
2 + V(x - na). Puisque V(x) est une fonction périodique, l'hamiltonien
est bien invariant sous les translations d' un multiple entier de a.
Exercice
Masse effective
Les états de plus basse énergie correspondent aux petites valeurs du paramètre de Bloch,
K --7 O. Nous avons noté la similitude entre le paramètre de Bloch et un vecteur d'onde. Pour
obtenir une quantité dimensionnée, nous introduisons k ~ K/a. Lorsque k --7 0 l'énergie est
quadratique E(ka) : ' . : : : : ' . (Eo - 2A) +A (ka)
2 : nous avons retrouvé la relation de di spersion pour
une particule libre de vecteur d ' onde k pour une masse (effective) m* ~ 1ï
2 /(2Aa
2 ). Lorsque le
couplage diminue A ~ la probabilité pour que la particule saute d'un site au voisin diminue,
et donc la particule devient effectivement plus « lourde » m* /. AN : Pour A = l eV et
a = 1 Â, on obtient m * : ' . : : : : ' . 3me : ' . : : : : ' . 3 X 1 o- 3 o kg.
Au voisinage de l' énergie maximale, ka ~ ±7r, le développement prend la forme E(ka) : ' . : : : : ' .
(Eo + 2A) - A (ka± n) 2 , qu'on peut interpréter comme l' apparition d'une masse effective
négative m* = -n
2
/ (2Aa
2 ). Cette observation est à l'origine de l'effet Hall anormal expliqué en 1931 par Peierls et Heisenberg (cf. annexe l.A). L'apparition désagréable de masse
négative est contournée grâce à l' introduction de la notion d ' anti-particule (dans un solide
l' anti-électron est appelé un « trou »).
Exercice
Nous avons vu que la définition #i r) = 1- r) implique # 1# = - 1. Nous
remarquons que ( rl # I p) = (-ri p) = ( rl-fJ) d'où # 1 p) = 1-fJ) et donc # ft# = -ft.
Puisque les opérateurs position et impulsion sont impairs, il s'ensuit immédiatement que le
moment orbital est pair # Î# = +Î ; on pourra classer les états propres de Î par leur parité
(chapitre 8).
Exercice
p; est pair. # V(x) # = V(-x). Si V(x) = V(- x ) alors # fi # =fi. Puisque
[# ,fi] = 0 il existe une base d'états propres communs aux deux opérateurs, i.e. il existe une
base d ' états stationnaires décrits par des fonctions d ' onde paires ou impaires,
États liés d'un puits de potentiel symétrique
Nous étudions les états liés (E < 0) du problème. Rappelons la contrainte entre les paramètres
du problème q
2 = k6 - k
2 .
a) Solutions paires. La solution paire, normalisable, est l/J(x) = A cos(kx) pour x E
[ -a/2, +a/2] et l/f(x) = Be- qlxl pour lxl E [ +a/2, +oo[ (la normalisabilité conduit à éliminer les exponentielles croissant à l' infini e+qlxl ). Le potentiel est borné, donc l/J et l/J'
sont continues partout (cf. exercice 2. 1 ). Il nous reste à imposer ces conditions où elles
ne sont pas encore satisfaites : en ±a/2. Puisque la solution est paire, les conditions de
raccordement prennent la même forme en a/2 et -a/2. D ' autre part la continuité del/Jet
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
L'équation de Schrodinger pour la fonction d'onde dans 1 'espace des impulsions est (exercice 3.6) in fi lf(p, t) = {: lf(p, t) + V(i1ïVp)(ÏJ(p, t). Il est facile de voir que
lfrenvUJ, t) = (ÏJ*(-p, -t) est solution de la même équation différentielle. QED.
Exercice
(xll/f') = l/J'(x) = l/f(x - a) = L.::' =o ~( - ad~tl/f(x) = e- at l/f(x) =
(x le-kaftl l/J), d ' où 11/J') = e-*a,611/J). QED.
Exercice
p commute avec les translations. Nous avons vu que T(a)xT(a) t = x-a d'où
T(na)fiT(na)t = 2 :np
2 + V(x - na). Puisque V(x) est une fonction périodique, l'hamiltonien
est bien invariant sous les translations d' un multiple entier de a.
Exercice
Masse effective
Les états de plus basse énergie correspondent aux petites valeurs du paramètre de Bloch,
K --7 O. Nous avons noté la similitude entre le paramètre de Bloch et un vecteur d'onde. Pour
obtenir une quantité dimensionnée, nous introduisons k ~ K/a. Lorsque k --7 0 l'énergie est
quadratique E(ka) : ' . : : : : ' . (Eo - 2A) +A (ka)
2 : nous avons retrouvé la relation de di spersion pour
une particule libre de vecteur d ' onde k pour une masse (effective) m* ~ 1ï
2 /(2Aa
2 ). Lorsque le
couplage diminue A ~ la probabilité pour que la particule saute d'un site au voisin diminue,
et donc la particule devient effectivement plus « lourde » m* /. AN : Pour A = l eV et
a = 1 Â, on obtient m * : ' . : : : : ' . 3me : ' . : : : : ' . 3 X 1 o- 3 o kg.
Au voisinage de l' énergie maximale, ka ~ ±7r, le développement prend la forme E(ka) : ' . : : : : ' .
(Eo + 2A) - A (ka± n) 2 , qu'on peut interpréter comme l' apparition d'une masse effective
négative m* = -n
2
/ (2Aa
2 ). Cette observation est à l'origine de l'effet Hall anormal expliqué en 1931 par Peierls et Heisenberg (cf. annexe l.A). L'apparition désagréable de masse
négative est contournée grâce à l' introduction de la notion d ' anti-particule (dans un solide
l' anti-électron est appelé un « trou »).
Exercice
Nous avons vu que la définition #i r) = 1- r) implique # 1# = - 1. Nous
remarquons que ( rl # I p) = (-ri p) = ( rl-fJ) d'où # 1 p) = 1-fJ) et donc # ft# = -ft.
Puisque les opérateurs position et impulsion sont impairs, il s'ensuit immédiatement que le
moment orbital est pair # Î# = +Î ; on pourra classer les états propres de Î par leur parité
(chapitre 8).
Exercice
p; est pair. # V(x) # = V(-x). Si V(x) = V(- x ) alors # fi # =fi. Puisque
[# ,fi] = 0 il existe une base d'états propres communs aux deux opérateurs, i.e. il existe une
base d ' états stationnaires décrits par des fonctions d ' onde paires ou impaires,
États liés d'un puits de potentiel symétrique
Nous étudions les états liés (E < 0) du problème. Rappelons la contrainte entre les paramètres
du problème q
2 = k6 - k
2 .
a) Solutions paires. La solution paire, normalisable, est l/J(x) = A cos(kx) pour x E
[ -a/2, +a/2] et l/f(x) = Be- qlxl pour lxl E [ +a/2, +oo[ (la normalisabilité conduit à éliminer les exponentielles croissant à l' infini e+qlxl ). Le potentiel est borné, donc l/J et l/J'
sont continues partout (cf. exercice 2. 1 ). Il nous reste à imposer ces conditions où elles
ne sont pas encore satisfaites : en ±a/2. Puisque la solution est paire, les conditions de
raccordement prennent la même forme en a/2 et -a/2. D ' autre part la continuité del/Jet
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