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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Inégalité de Heisenberg temporelle
Partant de [H, B] = -inB nous appliquons (3.54) : 11Bl/J 11Hl/J ~ ~l(B)l/JI· En remarquant que
11Bl/J/l(B)l/JI = T~ définit une échelle de temps caractérisant l'évolution de l'observable B,
l'inégalité prend la former~ 11Hl/J ~ ~·Cette approche, proposée par Mandelstamm & Tamm
en 1945, n 'a de sens que si (B)l/J est non nulle et relativement« bien définie» 11Bl/J « l(B)l /JI·
Pour en savoir plus
Y. Aharonov & D. Bohm, Time in the quantum theory and the uncertainty relation between time and energy, Phys. Rev. 122, 1649 (1961).
Exercice
Théorème de Feynman-Hellmann
D , .
,
. . aE,, (/) - a < "' 1 HA 1 "' ) - < "' 1 afl 1 "' )
a( cp,, 1 HA 1 "' )
< "' 1 HA ai
'l'n
-
'l'n ôf 'l'n + --a:T" 'l'n + 'l'n --a:T".
On peut appliquer fI sur le ket du 2ème terme et le bra du 3ème :
8
~1f) = -(
( théorème.
L' intérêt de ce théorème est le suivant: étant connues les valeurs propres de l' énergie {E 11 (f)},
une simple dérivation par rapport à f fournit la moyenne (X) 1 cp,, » sans avoir besoin de calculer
un élément de matrice. Exemple d'application: dans un atome soumi s à un champ électrique
....
(f ~ 8), la dérivation des énergies par rapport à celui-ci fournit le moment dipolaire électrique (X~ J = q ~~ 1 ~pour Z électrons).
Pour en savoir plus
Il est possible de généraliser le théorème de Feynman-Hellmann au cas d'un problème
de diffusion caractérisé par un spectre continu. Dans ce cas les éléments de matrice des
observables physiques peuvent être reliées à des dérivées de la matrice-S (matrice de diffusion introduite dans J'annexe 5.A et Je chapitre 10) : cf. C. Texier & P. Degiovanni,
Charge and current distribution in graphs, J. Phys. A : Math. Gen. 36, 12425-1245 2
(2003).
Exercice
Jonction Josephson
a) On obtient les trois équations : Pl = -jJ2 =
2
r~ '\/P1P2 sin(
l(
où le = 2q*K yp1p2/n est le courant maximal induit par la différence de phase. l est appelé
« Supercourant » . Il est proportionnel à K, le couplage entre les deux régions supraconductrices (i.e. à la probabilité de traverser la barrière tunnel). En écrivant p 1 /p 2 ~ 1, on
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Exercice
Inégalité de Heisenberg temporelle
Partant de [H, B] = -inB nous appliquons (3.54) : 11Bl/J 11Hl/J ~ ~l(B)l/JI· En remarquant que
11Bl/J/l(B)l/JI = T~ définit une échelle de temps caractérisant l'évolution de l'observable B,
l'inégalité prend la former~ 11Hl/J ~ ~·Cette approche, proposée par Mandelstamm & Tamm
en 1945, n 'a de sens que si (B)l/J est non nulle et relativement« bien définie» 11Bl/J « l(B)l /JI·
Pour en savoir plus
Y. Aharonov & D. Bohm, Time in the quantum theory and the uncertainty relation between time and energy, Phys. Rev. 122, 1649 (1961).
Exercice
Théorème de Feynman-Hellmann
D , .
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a( cp,, 1 HA 1 "' )
< "' 1 HA ai
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On peut appliquer fI sur le ket du 2ème terme et le bra du 3ème :
8
~1f) = -(
( théorème.
L' intérêt de ce théorème est le suivant: étant connues les valeurs propres de l' énergie {E 11 (f)},
une simple dérivation par rapport à f fournit la moyenne (X) 1 cp,, » sans avoir besoin de calculer
un élément de matrice. Exemple d'application: dans un atome soumi s à un champ électrique
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(f ~ 8), la dérivation des énergies par rapport à celui-ci fournit le moment dipolaire électrique (X~ J = q ~~ 1 ~pour Z électrons).
Pour en savoir plus
Il est possible de généraliser le théorème de Feynman-Hellmann au cas d'un problème
de diffusion caractérisé par un spectre continu. Dans ce cas les éléments de matrice des
observables physiques peuvent être reliées à des dérivées de la matrice-S (matrice de diffusion introduite dans J'annexe 5.A et Je chapitre 10) : cf. C. Texier & P. Degiovanni,
Charge and current distribution in graphs, J. Phys. A : Math. Gen. 36, 12425-1245 2
(2003).
Exercice
Jonction Josephson
a) On obtient les trois équations : Pl = -jJ2 =
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où le = 2q*K yp1p2/n est le courant maximal induit par la différence de phase. l est appelé
« Supercourant » . Il est proportionnel à K, le couplage entre les deux régions supraconductrices (i.e. à la probabilité de traverser la barrière tunnel). En écrivant p 1 /p 2 ~ 1, on