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Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Paquet d'ondes gaussien
2
La normalisation de lfr(p, t) = lfr(p, O)e- if,,,;, est immédiate. Dans l' espace réel, le calcul de
tfi(x, t) = r+oo -~ (f(p, O)ei lF-iE est sans difficulté (encore une intégrale gaussienne). On
J -oo v2rrlî
aura intérêt à translater la variable d'intégration de p 0 . On obtient
i pox_ i ~
(x-pot/m)2
t/f(x t) cc e n 2m11 exp-----'
2~ 2 +i ~) m
(B.7)
Cette expression montre que la fonction d ' onde est gaussienne, centrée sur (x)l/J(t) = ~pot et
de largeur tixl/J(r) = ~ a2 + ( ;~ )
2
.
Remarque : Diffusion quantique?
Il serait tentant d'interpréter l'équation de Schrodinger comme une équation de diffusion classique pour une «constance de diffusion complexe 0 = i~ ». Rappelons que
la diffusion classique libre est décrite par l'équation ft P(x; t) = 0
8
8
: 2 P(x; t) où P(x; t)
est la densité de probabilité . Remarquons toutefois que létalement de la densité de
probabilité au cours du temps n'est pas le même dans les deux cas: ~Xciass (t) = Y20t
dans le cas classique, alors que l'étalement est plus rapide dans le cas quantique
~Xquant(t) cc !~ ·où a est la largeur initiale du paquet d' ondes.
Exercice
Nous avons ri = *[H,ri] = 2~m [p
2
, rd = ~Pi et Pi
*[H,pi] =
*[V(;:t), Pi] = -\i'iV(;:t). Nous retrouvons les équations de Hamilton de la mécanique classique (annexe 1.B page 32).
Exercice
Nous appliquons les résultats de l' exercice 5.4 à l'oscillateur harmonique:
x = ~p et p = -mw 2 x. Ces équations sont linéaires dans les opérateurs : ceci nous permet
d'obtenir un système d 'équations différentielles pour les valeurs moyennes des opérateurs,
qui coïncident donc avec les équations du mouvement classique : ~ (x)l/J(r) = ~ (p )l/J(t) et
~ (p )l/J(r) = -mw 2 (x)l/J(t) · Ces équations sont élémentaires à résoudre : (x)l/J(t) = xo sin(wt + )
et (p )lfi(r) = mwxo cos(wt + ).
Exercice
a) L'impulsion est conservée, i.e. [H, p] = 0 et donc [H, f(p)] = 0 quelle que soit f.
~(f(p))1fi(1) = i<[H, f(p)])lfi(t) = 0, donc (f( p) )lfi(t) = (f(p))lfi(O)·
b) [H, x] = -~p, d' où ~(x)l/J(t) = ~ (p)l/J(O)· Une intégration donne donc (x)l/J(r) = ~(p)l/J(O) +
(x)ifJ(O).
c) [H, x 2 ] = -~ (xp +px) d'où ~(x
2
)1fi(r) = ~ (xp + px)l/J(t) (le membre de droite n'est pas
constant).
d) [H, [H, x2]] = ( - ~ )
2
2p
2
. En utilisant à nouveau la question a: J; (x 2 )1/J(r) = 1 ~ 2 (p 2 )1/J(O) ·
e) Une double intégration nous donne (x 2 )1fi(r) = ; 1 (p 2 )1fi(O) + ~(xp + p x)lfi(O) t + (x 2 )1fi(O)· Le
résultat demandé s'en déduit trivialement.
323
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Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Paquet d'ondes gaussien
2
La normalisation de lfr(p, t) = lfr(p, O)e- if,,,;, est immédiate. Dans l' espace réel, le calcul de
tfi(x, t) = r+oo -~ (f(p, O)ei lF-iE est sans difficulté (encore une intégrale gaussienne). On
J -oo v2rrlî
aura intérêt à translater la variable d'intégration de p 0 . On obtient
i pox_ i ~
(x-pot/m)2
t/f(x t) cc e n 2m11 exp-----'
2~ 2 +i ~) m
(B.7)
Cette expression montre que la fonction d ' onde est gaussienne, centrée sur (x)l/J(t) = ~pot et
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2
.
Remarque : Diffusion quantique?
Il serait tentant d'interpréter l'équation de Schrodinger comme une équation de diffusion classique pour une «constance de diffusion complexe 0 = i~ ». Rappelons que
la diffusion classique libre est décrite par l'équation ft P(x; t) = 0
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: 2 P(x; t) où P(x; t)
est la densité de probabilité . Remarquons toutefois que létalement de la densité de
probabilité au cours du temps n'est pas le même dans les deux cas: ~Xciass (t) = Y20t
dans le cas classique, alors que l'étalement est plus rapide dans le cas quantique
~Xquant(t) cc !~ ·où a est la largeur initiale du paquet d' ondes.
Exercice
Nous avons ri = *[H,ri] = 2~m [p
2
, rd = ~Pi et Pi
*[H,pi] =
*[V(;:t), Pi] = -\i'iV(;:t). Nous retrouvons les équations de Hamilton de la mécanique classique (annexe 1.B page 32).
Exercice
Nous appliquons les résultats de l' exercice 5.4 à l'oscillateur harmonique:
x = ~p et p = -mw 2 x. Ces équations sont linéaires dans les opérateurs : ceci nous permet
d'obtenir un système d 'équations différentielles pour les valeurs moyennes des opérateurs,
qui coïncident donc avec les équations du mouvement classique : ~ (x)l/J(r) = ~ (p )l/J(t) et
~ (p )l/J(r) = -mw 2 (x)l/J(t) · Ces équations sont élémentaires à résoudre : (x)l/J(t) = xo sin(wt + )
et (p )lfi(r) = mwxo cos(wt + ).
Exercice
a) L'impulsion est conservée, i.e. [H, p] = 0 et donc [H, f(p)] = 0 quelle que soit f.
~(f(p))1fi(1) = i<[H, f(p)])lfi(t) = 0, donc (f( p) )lfi(t) = (f(p))lfi(O)·
b) [H, x] = -~p, d' où ~(x)l/J(t) = ~ (p)l/J(O)· Une intégration donne donc (x)l/J(r) = ~(p)l/J(O) +
(x)ifJ(O).
c) [H, x 2 ] = -~ (xp +px) d'où ~(x
2
)1fi(r) = ~ (xp + px)l/J(t) (le membre de droite n'est pas
constant).
d) [H, [H, x2]] = ( - ~ )
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2p
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. En utilisant à nouveau la question a: J; (x 2 )1/J(r) = 1 ~ 2 (p 2 )1/J(O) ·
e) Une double intégration nous donne (x 2 )1fi(r) = ; 1 (p 2 )1fi(O) + ~(xp + p x)lfi(O) t + (x 2 )1fi(O)· Le
résultat demandé s'en déduit trivialement.
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