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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Matrice S et matrice de transfert
a) La matrice S relie les amplitudes sortantes aux amplitudes entrantes ( ~) = S ( ~ ). donc
S = (; ; ).La conservation du courant IBl
2 + ICl
2 = IAl
2 + IDl
2 impose l' unitarité sts = 1,
i.e. lrl
2 + ltl
2 = lr'l
2 + lt'l
2 = 1 et~= -(7)*. L'équation ss t = 1 conduit à lrl
2 + lt'l
2 =
lr'l
2 + ltl
2 = 1 et ~ = -Ui -)*.
Remarque
l' ensemble de ces matrices (satisfaisant 5t 5 = l) forme un groupe noté U(2), le
groupe des matrices unitaires 2 x 2 conservant la norme ayant pour signature
(+, +) .
b) Les matrices de transfert possèdent la loi de composition simple M = M 1 M 2 où M 1 et
M 2 caractérisent le potentiel sur deux intervalles successifs. On peut ainsi construire facilement la solution de l'équation de Schrodinger (par des manipulations algébriques),
à condition de connaître les matrices de transfert associées aux différents intervalles (on
pourra par exemple obtenir M pour un potentiel V(x) = Vo sur [x 1 , x2] en utilisant l'exercice 2.3 ou 2.5).
c)
322
La conservation du courant de probabilité est ICl
2 - IDl2 = IAl
2 - 181
2 . On regroupe
les amplitudes dans des vecteurs Jlc = (~) et JID = (g). En introduisant la matrice
qui implique Mt Remarque
l'ensemble des matrices satisfaisant cette condition forme le groupe des matrices
2 x 2 conservant la norme ayant pour signature (+, -) (attention, ces matrices ne
sont pas unitaires, comme on le montre plus bas). Ce groupe est appelé le groupe
symplectique Sp(2).
Pour obtenir la relation entre matrices S et M il suffit de partir de B = rA + t' D et C =
tA + r' D . Quelques manipulations condui sent à
M = (t -r' r/t' r' /t' )
-rit' 1/t'
(B.5)
En utilisant les équations du a) on obtient (5.35). On déduit det M = t/t'. En particulier
1 det Ml = 1. En utilisant ltl = lt'I on obtient que
t
_
2 ( 1 -r*)
MM - - 1 2 + - 2
l .
ltl - r
(B.6)
Un exemple concret de matrice de transfert sera étudié dans l'exercice 6.10.