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Solutions des exercices et problèmes
vecteur propre 1 v_ ) = ~(I u2) - 1 u3) ). Les deux résultats de mesure sont:
1) Proba[A ~-a] = ~(il est plus facile de commencer par la val. propre non dég.), l' état
après la mesure est 1 t/Jfin ) = 1 v_ ).
2) Proba[A ~ +a] = ~·L'état final est obtenu en projetant lt/Jini) dans le sous espace
propre, i.e. 1 t/Jfin ) ex: [I u 1 )( u 1 1 + 1 V+ )(V+ l]I t/Jini ) . En écrivant 1 t/Jini ) ex: 1u1 ) + i(I u2 ) +
1 u3) + 1 u2) - 1 u3) ), nous voyons facilement que 1 t/Jfin) = ~(I u, ) + il u2) + il u3)) =
~ (lu1 )+ iv'2lv+)).
Exercice
Polarisation de la lumière
a) L'amplitude est ( 8 I G) = ~ei
8
. Le photon a donc une probabilité 1( 8 I G )1 2 = ! de traverser le filtre.
b) L'amplitude de probabilité pour que le photon traverse le premier polariseur est ( x 1 G) =
~ (proba = ! ). Après être passé le photon est dans l' état 1 x). L'amplitude de probabilité
pour passer le deuxième polariseur est (y 1 x) = O.
c) En introduisant un polariseur entre les deux polariseurs de la question précédente, on
permet au photon de traverser le di spositif (ce qui semble paradoxal du point de vue de la
physique classique). Amplitude pour passer le premier polariseur et état après : ( x 1 G) =
~ et 1 x ) . Amplitude pour passer le deuxième polariseur et état après : ( 8 I x) = cos 8 et
l 8). Amplitude pour passer le troisième polariseur et état après : (y l 8) = i sin 8 et 1 y). Au
total , la probabilité pour que le photon traverse le dispositif est P 8 = li sin 8 cos 8 ~ 1 2 =
k sin 2 28. On vérifie que Po = P lf/ 2 = 0 (ce qui nous ramène dans la situatio n de la question
b). Lorsque 8 = n/4 le signal de sortie est maximum.
CHAPITRE 5
Exercice
Diffusion par une lame séparatrice
a)
b)
c)
La conservation de la probabilité prend la forme de la conservation de la norme du vecteur : ('Pout) t 'Pout = ( tpin) t S t S 'Pin = ('Pin) t 'Pin. Ceci doit être vrai V 'Pin, ce qui implique
donc l' unitarité de la matrice S t S = 1, i.e. s -
1 = S t . On a aussi SS t = 1.
Une matrice 2 x 2 à coefficients complexes met en jeu 8 paramètres réels. L'unitarité S t S =
1 conduit à 2 équations réelles et une équation complexe, ce qui implique 4 contraintes.
Le groupe U(2) est donc un groupe à quatre paramètres réels.
On vérifie très facilement que S t S = 1. La phase e est la phase globale de la matrice
S : en particulier detS = e 2 i
8 . Le paramètre T E [O, 1] a le sens d' une probabilité de
transmission. La phase <.p contrôle l'asymétrie u H d . Plus difficile à ce stade : la phase
x contrôle l' asymétrie sous le renversement temporel (cela peut être une phase d' origine
magnétique).
Pour en savoir plus
La paramétrisation (5.31 ) est appelée la représentation polaire. Cf. Ref. [36]
321
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Solutions des exercices et problèmes
vecteur propre 1 v_ ) = ~(I u2) - 1 u3) ). Les deux résultats de mesure sont:
1) Proba[A ~-a] = ~(il est plus facile de commencer par la val. propre non dég.), l' état
après la mesure est 1 t/Jfin ) = 1 v_ ).
2) Proba[A ~ +a] = ~·L'état final est obtenu en projetant lt/Jini) dans le sous espace
propre, i.e. 1 t/Jfin ) ex: [I u 1 )( u 1 1 + 1 V+ )(V+ l]I t/Jini ) . En écrivant 1 t/Jini ) ex: 1u1 ) + i(I u2 ) +
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Exercice
Polarisation de la lumière
a) L'amplitude est ( 8 I G) = ~ei
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. Le photon a donc une probabilité 1( 8 I G )1 2 = ! de traverser le filtre.
b) L'amplitude de probabilité pour que le photon traverse le premier polariseur est ( x 1 G) =
~ (proba = ! ). Après être passé le photon est dans l' état 1 x). L'amplitude de probabilité
pour passer le deuxième polariseur est (y 1 x) = O.
c) En introduisant un polariseur entre les deux polariseurs de la question précédente, on
permet au photon de traverser le di spositif (ce qui semble paradoxal du point de vue de la
physique classique). Amplitude pour passer le premier polariseur et état après : ( x 1 G) =
~ et 1 x ) . Amplitude pour passer le deuxième polariseur et état après : ( 8 I x) = cos 8 et
l 8). Amplitude pour passer le troisième polariseur et état après : (y l 8) = i sin 8 et 1 y). Au
total , la probabilité pour que le photon traverse le dispositif est P 8 = li sin 8 cos 8 ~ 1 2 =
k sin 2 28. On vérifie que Po = P lf/ 2 = 0 (ce qui nous ramène dans la situatio n de la question
b). Lorsque 8 = n/4 le signal de sortie est maximum.
CHAPITRE 5
Exercice
Diffusion par une lame séparatrice
a)
b)
c)
La conservation de la probabilité prend la forme de la conservation de la norme du vecteur : ('Pout) t 'Pout = ( tpin) t S t S 'Pin = ('Pin) t 'Pin. Ceci doit être vrai V 'Pin, ce qui implique
donc l' unitarité de la matrice S t S = 1, i.e. s -
1 = S t . On a aussi SS t = 1.
Une matrice 2 x 2 à coefficients complexes met en jeu 8 paramètres réels. L'unitarité S t S =
1 conduit à 2 équations réelles et une équation complexe, ce qui implique 4 contraintes.
Le groupe U(2) est donc un groupe à quatre paramètres réels.
On vérifie très facilement que S t S = 1. La phase e est la phase globale de la matrice
S : en particulier detS = e 2 i
8 . Le paramètre T E [O, 1] a le sens d' une probabilité de
transmission. La phase <.p contrôle l'asymétrie u H d . Plus difficile à ce stade : la phase
x contrôle l' asymétrie sous le renversement temporel (cela peut être une phase d' origine
magnétique).
Pour en savoir plus
La paramétrisation (5.31 ) est appelée la représentation polaire. Cf. Ref. [36]
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