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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
l/f(O, y) = l/f(a, y) = 0 V y et l/f(x, 0) = l/f(x, b) = 0 V x. L'examen des conditions aux limites montre que le problème est séparable (les conditions aux limites dans la direction
Ox sont indépendantes de y, etc). D 'après le § 3.3.4 nous pouvons donc chercher les états
stationnaires sous la forme l/f(x, y)= (§ 1.5.3). Les états sont repérés par deux nombres quantiques (pour un problème bidimensionnel)"' (x y) = - 2 - sin (!!Zr:!) sin (mnu ) et E = 1i
2 n
2 [(!!) 2 + (!!!) 2 ] pour n m E N *.
'f' n,m '
,,f;;b
a
b
n,m
2m a
b
'
Dégénérescences.
(i) Le cas a = 2b. Nous obtenons le spectre En,m = :::~ (4n 2 + m 2 ) avec n, m E N*. Certaines valeurs propres sont dégénérées, par exemple E2,2 = E I .4· Ces dégénérescences
ne sont liées à aucune propriété physique particulière, on parle de dégénérescences accidentelles.
(ii) Le cas a = b. Dans le cas de la boîte carrée le spectre est donné par En,m = ;:: 2 (n 2 + m 2 )
avec n, m E N *. Nous obtenons dans ce cas un ensemble de dégénérescences En,m =
Em,n dont nous voyons immédiatement l' origine physique : la symétrie du problème
sous la réflexion x H y. En sus de ces dégénérescences liées à la symétrie de réflexion le spectre possède également des dégénérescences accidentelles, par exemple
Es,s = E 1,1(= E1,1).
CHAPITRE 4
Exercice
Soit {an, 1 • Si aucune des valeurs propres de A n'est dégénérée : n * m ~ ( diagonale dans la base {I • Si les valeurs propres an sont dégénérées : notons cf:(an) le sous espace propre et dn sa
dimension. an * am ~ ( espaces propres associés à des valeurs propres différentes, autrement dit B est diagonale
par blocs dans la base des vecteurs propres de A. Dans un sous espace propre, A est proportionnelle à la matrice identité A (8'(a,, )) = an l d,, · Toute combinaison linéaire de vecteurs de
cf:(a 11 ) est vecteur propre de A , donc il est toujours possible de choisir une base de vecteurs
propres qui soient en même temps vecteurs propres de B. QED.
Exercice
Mesures
a) La première chose consiste à préciser le spectre de A : les trois valeurs propres sont a
et ±b , associées respectivement aux vecteurs propres 1 u 1 ), 1 v±) = ~(I u2) ± 1 u3 ) ). Le
vecteur initial est 11/Jini ) = }s [I u 1 ) + 2il u2)]. Il y a trois résultats de mesure possibles :
l) Proba[A ~a] = 1( u, 11/Jini )1 2 = ~'l'état après la mesure est 11/Jrin) = 1 u1 ).
2&3) Proba[A ~ ±b] = l(v± li/fini )1 2 = 1 ~ ~1
2
= ~'l'état après la mesure est 11/Jnn) =
1 V±).
En moyenne (A)lf!ini = ( l/Jini IA I l/Jini) = ~ . Les fluctuations sont M lf!ini = ~ Ya 2 + 5b
2 .
b) Lorsque b = a , 1' observable a deux valeurs propres dont une dégénérée : +a est associée
aux deux vecteurs propres 1u 1 ) et 1 V+ ) = ~ (1 u2) + 1 u3 ) ). La valeur propre - a a pour
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