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Solutions des exercices et problèmes
(
0 0 i l
c) L'opérateur est associé à la matrice : A H
0 1 0 . La première valeur propre est ,L =
-i 0 0
-1 associée au vecteur propre 1 'P- ) = ~ [I u 1 ) + il u3 ) ] . La valeur propre À+ = + 1 est
dégénérée, associée aux deux vecteurs propres 1 u2 ) et 1 'P+ ) = ~ [I u 1 ) - il u3 ) ] .
Exercice
La propriété de distributivité du commutateur se démontre aisément
[AB, C] =ABC - CAB= A[B, C] + ACB- CAB= A[B, C] +[A, C]B.
Nous déduisons [ABC, D] = [A, D]BC + A[B, D]C + AB[C, D] et [AB, CD] = [A, C]DB +
A[B, C]D + C[A, D]B + AC[B, D].
Exercice
Le bra devient un ket : a (
Exercice
Si 1 c.p 11 ) est vecteur propre de A, il est vecteur propre de toute fonction de
A : f(A)I 'Pn) = f(a,JI 'Pn), d ' où f(A) = f(A) Ln 1 'Pn )( ' P11 I = Ln f(an)I 'Pn )( 'Pn 1.
Exercice
Puisque 1 'extension de la fonction d'onde est .0.x ~ a 1' énergie cinétique est
Ecin ~ n 2 / (ma 2 ). Le calcul précis donne N = (na 2 )- 1 l 4 et (if! IHcinl if!) = ;: J dx j ~~ 1
2 = 4 ; : 2 •
Exercice
P(A) = (if! l(.X - i ~ p)(x + i ~ fJ)I if!) = (.X
2 )t/t - À + A
2 (f;
2 )t/t/n
2 . Puisque
le polynôme est positif, son discriminant est négatif ou nul 1 - 4(.X 2 )t/t(p 2 )t/t/n 2 ~ O. D' où
.0.xt/t.0.Pt/t ~ n/2. QED.
Exercice
Inégalité de Heisenberg généralisée
Les deux opérateurs A ~ A - (A)tft et B ~ B - (B)t/t satisfont [Â, È] = iC. On introduit
le polynôme P(A) = ll(Â + UB)I if! )11
2 = A
2 (B
2 )t/t - A(C)t/t + (Â
2 )t/t. Puisqu'il est positif son
discriminant est négatif ou nul (C); - 4(Â
2 )tft(B
2 )t/t ~ 0, d'où la relation (3.54).
Exercice
Diagonalisations de matrices
1) Une matrice réelle symétrique est un cas particulier de matrice hermitique. D'après l' annexe (page 78) il existe une base orthonormée de vecteurs propres de CN : S if!<
11 > = Ànif!<
11 >.
Puisque la matrice est à coefficients réels on peut prendre la partie réelle de l'équation pour
construire une base de vecteurs de m;.N : S Re l/J(n) = Ân Re if!(n) . La matrice de changement de
base 11 étant à coefficients réels, elle est orthogonale.
2) Le cas des matrices unitaires est traité en suivant la logique de 1' annexe pour des matrices
hermitiques. Partant de 111/f = À.if! on conjugue l' équation l/f t U t = A*l/ft. En utilisant l'unitarité u t = u -
1 on obtient ,t- I = A*, d'où À. = eiO avec() E R L'orthonormalisation des
vecteurs propres est démontrée comme dans le cas des matrices hermitiques.
Puisque les valeurs propres de la matrice unitaire sont de la forme À. 11 = eie" on peut écrire 11 =
'VDi. (Vt = 'VeiDe'Vt = ei'VDe'Vt où Du = diag(ew 1 , • • • , ewN) et De = diag(B1, · · · , BN).
Toute matrice unitaire peut donc s'écrire 11 = eie où e = 'VDe'V+.
Exercice
Boîte quantique 1 D
Nous devons résoudre l'équation de Schrodinger libre bidimensionnelle - ;;/ J: 2 +
J; 2 )if!(x, y) = El/f(x, y) dan s Je rectangle [0, a] x [0, b] avec des conditions aux limites
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c) L'opérateur est associé à la matrice : A H
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dégénérée, associée aux deux vecteurs propres 1 u2 ) et 1 'P+ ) = ~ [I u 1 ) - il u3 ) ] .
Exercice
La propriété de distributivité du commutateur se démontre aisément
[AB, C] =ABC - CAB= A[B, C] + ACB- CAB= A[B, C] +[A, C]B.
Nous déduisons [ABC, D] = [A, D]BC + A[B, D]C + AB[C, D] et [AB, CD] = [A, C]DB +
A[B, C]D + C[A, D]B + AC[B, D].
Exercice
Le bra devient un ket : a (
Exercice
Si 1 c.p 11 ) est vecteur propre de A, il est vecteur propre de toute fonction de
A : f(A)I 'Pn) = f(a,JI 'Pn), d ' où f(A) = f(A) Ln 1 'Pn )( ' P11 I = Ln f(an)I 'Pn )( 'Pn 1.
Exercice
Puisque 1 'extension de la fonction d'onde est .0.x ~ a 1' énergie cinétique est
Ecin ~ n 2 / (ma 2 ). Le calcul précis donne N = (na 2 )- 1 l 4 et (if! IHcinl if!) = ;: J dx j ~~ 1
2 = 4 ; : 2 •
Exercice
P(A) = (if! l(.X - i ~ p)(x + i ~ fJ)I if!) = (.X
2 )t/t - À + A
2 (f;
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2 . Puisque
le polynôme est positif, son discriminant est négatif ou nul 1 - 4(.X 2 )t/t(p 2 )t/t/n 2 ~ O. D' où
.0.xt/t.0.Pt/t ~ n/2. QED.
Exercice
Inégalité de Heisenberg généralisée
Les deux opérateurs A ~ A - (A)tft et B ~ B - (B)t/t satisfont [Â, È] = iC. On introduit
le polynôme P(A) = ll(Â + UB)I if! )11
2 = A
2 (B
2 )t/t - A(C)t/t + (Â
2 )t/t. Puisqu'il est positif son
discriminant est négatif ou nul (C); - 4(Â
2 )tft(B
2 )t/t ~ 0, d'où la relation (3.54).
Exercice
Diagonalisations de matrices
1) Une matrice réelle symétrique est un cas particulier de matrice hermitique. D'après l' annexe (page 78) il existe une base orthonormée de vecteurs propres de CN : S if!<
11 > = Ànif!<
11 >.
Puisque la matrice est à coefficients réels on peut prendre la partie réelle de l'équation pour
construire une base de vecteurs de m;.N : S Re l/J(n) = Ân Re if!(n) . La matrice de changement de
base 11 étant à coefficients réels, elle est orthogonale.
2) Le cas des matrices unitaires est traité en suivant la logique de 1' annexe pour des matrices
hermitiques. Partant de 111/f = À.if! on conjugue l' équation l/f t U t = A*l/ft. En utilisant l'unitarité u t = u -
1 on obtient ,t- I = A*, d'où À. = eiO avec() E R L'orthonormalisation des
vecteurs propres est démontrée comme dans le cas des matrices hermitiques.
Puisque les valeurs propres de la matrice unitaire sont de la forme À. 11 = eie" on peut écrire 11 =
'VDi. (Vt = 'VeiDe'Vt = ei'VDe'Vt où Du = diag(ew 1 , • • • , ewN) et De = diag(B1, · · · , BN).
Toute matrice unitaire peut donc s'écrire 11 = eie où e = 'VDe'V+.
Exercice
Boîte quantique 1 D
Nous devons résoudre l'équation de Schrodinger libre bidimensionnelle - ;;/ J: 2 +
J; 2 )if!(x, y) = El/f(x, y) dan s Je rectangle [0, a] x [0, b] avec des conditions aux limites
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