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> a.
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
c) Le principe de l'expérience requiert de mesurer l' impulsion de la plaque avec précision
!::,.Pp ;:::; 1 I. D'après l'inégalité de Heisenberg, la position de la plaque est alors connue à
!::,.XP ;::: fi/ !::,.PP ;::: ÀL/a = if près.
d) Conclusion. (1) Point de vue corpusculaire : si on peut détecter par quel trou est passé le
photon (questions b&c), la figure d' interférence est brouillée. (2) Point de vue ondulatoire
(question a): si on souhai te mesurer la longueur d' onde du photon, i.e. son impulsion, on
bloque la plaque, on déduit la longueur d'onde de l'interfrange, mais on ne sait plus par
quel trou est passé le photon.
CHAPITRE 3
Exercice
Soient t/J(x) = L n t/Jn Un(X) et x(x) = LnXn Un(X). Le produit scalaire est
( t/J IX) = J dx L n t/J~ U11 (x)* LmXmUm(X) = L n,m t/J~mOn,m = Ln t/J~n·
Exercice
foa dx<,0n(x)<,0m(x) = 2 fo
1 dy sin mry sin mrry = fo
1
dy [ cos(n-m)rry-cos(n+
m)rry] = On,m - Ôn ,- m = 0 11 ,m puisque n, m EN* . QED.
Exercice
L' onde plane d' impulsion p est 2
.1 dx ei(p' - p)x/n = INl
2 2rr8( P~P') = 2rrn1Ni2o(p -
p'). La condition d 'orthonormalisation est satisfaite pour N = 1/ ...fiiïi.
L' onde plane d'impulsion Po est ' 4>p 0 (p) = o(p - Po), i.e. locali sée dans
l'espace des impulsions. L'état localisé spatialement est en revanche complètement délocalisé
dans l'espace des impulsions: l:x (p) = -
1 -e- ipxo/n.
<:.. o
~
Exercice
Exercice
L'action des opérateurs position et impulsion sur les fonctions d'onde est
respectivement .X -? xx et p -? ~ !· Donc (Ht/f)(x) = - ; , : t 2 t/f(x) + V(x)t/f(x). L'équation
in ft tf!(x , t) = (Ht/f)(x , t) est donc une écriture de l'équation de Schrodinger (2.3).
Exercice
L'action des opérateurs position et impulsion dans l'espace des impulsions
est .X -? in d~ et p -7 px. L'équation de Schrodinger dans l'espace des impulsions est donc
explicitement infitf;(p, t) = f:tf;(p, t) + V(in;P)tf;(p, t). Dans le cas libre (V= 0) nous obtenons aisément la solution tf;(p, t) = tf;(p, 0) exp - ti~ .
Exercice
Nous discutons 1' analogie entre une espace de Hilbert de dimension 3 et C
3 .
a) La normalisation est donnée par N
2
[1 11
2
+ 1- 2il2] = 1 d ' où N = l/ YS. Au ket nous
faisons correspondre un vecteur colonne 1 tfJ) H }s ( ~ .] et au bra le vecteur ligne dual
-21
(t/JI H }s (1 0 +2i).
b) < .p lx > = }, ( 1 o + 2i) }, ( i) = .Jw.
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
c) Le principe de l'expérience requiert de mesurer l' impulsion de la plaque avec précision
!::,.Pp ;:::; 1 I. D'après l'inégalité de Heisenberg, la position de la plaque est alors connue à
!::,.XP ;::: fi/ !::,.PP ;::: ÀL/a = if près.
d) Conclusion. (1) Point de vue corpusculaire : si on peut détecter par quel trou est passé le
photon (questions b&c), la figure d' interférence est brouillée. (2) Point de vue ondulatoire
(question a): si on souhai te mesurer la longueur d' onde du photon, i.e. son impulsion, on
bloque la plaque, on déduit la longueur d'onde de l'interfrange, mais on ne sait plus par
quel trou est passé le photon.
CHAPITRE 3
Exercice
Soient t/J(x) = L n t/Jn Un(X) et x(x) = LnXn Un(X). Le produit scalaire est
( t/J IX) = J dx L n t/J~ U11 (x)* LmXmUm(X) = L n,m t/J~mOn,m = Ln t/J~n·
Exercice
foa dx<,0n(x)<,0m(x) = 2 fo
1 dy sin mry sin mrry = fo
1
dy [ cos(n-m)rry-cos(n+
m)rry] = On,m - Ôn ,- m = 0 11 ,m puisque n, m EN* . QED.
Exercice
L' onde plane d' impulsion p est 2
.1 dx ei(p' - p)x/n = INl
2 2rr8( P~P') = 2rrn1Ni2o(p -
p'). La condition d 'orthonormalisation est satisfaite pour N = 1/ ...fiiïi.
L' onde plane d'impulsion Po est ' 4>p 0 (p) = o(p - Po), i.e. locali sée dans
l'espace des impulsions. L'état localisé spatialement est en revanche complètement délocalisé
dans l'espace des impulsions: l:x (p) = -
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Exercice
Exercice
L'action des opérateurs position et impulsion sur les fonctions d'onde est
respectivement .X -? xx et p -? ~ !· Donc (Ht/f)(x) = - ; , : t 2 t/f(x) + V(x)t/f(x). L'équation
in ft tf!(x , t) = (Ht/f)(x , t) est donc une écriture de l'équation de Schrodinger (2.3).
Exercice
L'action des opérateurs position et impulsion dans l'espace des impulsions
est .X -? in d~ et p -7 px. L'équation de Schrodinger dans l'espace des impulsions est donc
explicitement infitf;(p, t) = f:tf;(p, t) + V(in;P)tf;(p, t). Dans le cas libre (V= 0) nous obtenons aisément la solution tf;(p, t) = tf;(p, 0) exp - ti~ .
Exercice
Nous discutons 1' analogie entre une espace de Hilbert de dimension 3 et C
3 .
a) La normalisation est donnée par N
2
[1 11
2
+ 1- 2il2] = 1 d ' où N = l/ YS. Au ket nous
faisons correspondre un vecteur colonne 1 tfJ) H }s ( ~ .] et au bra le vecteur ligne dual
-21
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b) < .p lx > = }, ( 1 o + 2i) }, ( i) = .Jw.
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