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Solutions des exercices et problèmes
donc r = ~~::. L'autre coefficient est donné par l/f(O) = B = 1 + r = k~~q. Nous vérifions
que lrl = 1, ce qui traduit que l'onde est entièrement réfléchie sur la marche de potentiel,
dans laquelle elle pénètre sur une longueur ôx ~ 1/q. L'onde étant entièrement réfléchie,
l'état stationnaire décrit une situation où le courant est JI/! = 0 : la fonction d ' onde peut
donc être choisie réelle.
c) Pour E > Vo nous posons E =
11
;!
2 =
11
;~
2
- V 0 . L' état stationnaire est l/J(x) = e+ikx + re- ikx
pour x < 0 et l/J(x) = Be+iKx pour x > O. Les coefficients r et B sont donnés en faisant
iq ~ K dan s les expressions obtenues au b) : r = ~~~ et B = k~kK. Nous calculons
le courant de probabilité associé à cet état stationnaire : pour x < 0 nous obtenons JI/! =
lik(l-lrl 2 ) = Jinc+Jrefl·Pourx > 0 : J." =
11
Kltl 2 = J 1 rans· Les probabilitésderéflexionetde
m
P
m
. .
d
,
(228)' T-KIBl2 _ 4kK
R-( k- K)20
, .fi
transnuss1on sont onnees par . , 1.e. - T
- (k+K) 2 et - k+K . n ven e que
R + T = 1. Dans la limite E/Vo ~ oo la particule est insensible à la marche de potentiel,
R ~ 0 et T ~ 1. La limite E ~ Vt est plus intéressante à discuter : classiquement la
particule est tran smise avec probabilité Tc1ass = 1 dès que E > V 0 . Quantiquement nous
voyons que lorsque E ~ v;, nous obtenons R ~ 1 et T ~ O. La particule est totalement
réfléchie contrairement au cas classique.
C' est l' analogue de la réflexion d ' une onde électromagnétique à l' interface entre milieux
d' indices différents.
Exercice
Inégalité de Heisenberg
1) Une intégrale gaussienne nous donne lu~ = J dx x 2 lcp(x)l 2 = a 2 /2, i.e. l':.x' P = a/ '12. En
utilisant que la fonction d'onde dans l'espace des impulsions est également une gaussienne
ip(x) = ( :~ 2 )
1 14
e-P
2 a
2 1
2112
, nous obtenons l':.p' P = n/aY2. La fonction d'onde gaussienne est
donc un état de dispersion minimale l':.x
calculée par dérivation sous le signe J: fo
112 du u 2 cos(2mrx) = [ - ô~ fo
112 du cos(ax)]a= 21171 .
On obtient finalement l':.xl/J,, = a~ 1
1
2 - 2 nLr 2 • À la limite n ~ oo le résultat correspond à
une distribution de probabilité uniforme dan s la boîte. Le calcul de l':.pl /J,, est plus simple : la
particule est confinée, (p)l/J,, = O. D'autre part dans le problème libre (p 2 )1/J,, = (ntz;)
2
. Finalement le produit l':.xl/J,, l':.pl /J,, = nnn ~ / 2 - 2 ) 112 croît avec n (i.e. avec l' énergie), ce qui vient
du comportement de (p 2 )1/J,, · Ce point se comprend en analysant la structure de la fonction
d'onde: l/Jn(x) est la superposition de deux ondes planes eik,,x et e- ik,,x dans la boîte, i.e. l/;n(P)
est donnée par deux pics centrés sur ±tzk, 1 et de largeur n/a. Donc (p 2 )1/J,, = (nkn)
2 est dominé
par la valeur de la position des pics et non par leur largeur.
Exercice
Dualité onde-corpuscule
a) L'intensité reçue est lu(x)l 2 = 4A 2 cos 2 kd
1 ;d
2 cos 2 kd
1
;d
2
i.e. i1 = ÀL/a.
~ 4 cos 2 kL cos 2 (
11
. a x)
LA '
b) Si le photon passe par le trou du haut/bas, son impulsion varie de l':.pyx ~ +~Ï· L'impulsion est transférée à la plaque : si elle se déplace vers le haut cela signale le passage du
photon par le trou du haut. Réciproquement si la plaque se déplace vers le bas, le photon
est passé par le trou du bas.
317
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que lrl = 1, ce qui traduit que l'onde est entièrement réfléchie sur la marche de potentiel,
dans laquelle elle pénètre sur une longueur ôx ~ 1/q. L'onde étant entièrement réfléchie,
l'état stationnaire décrit une situation où le courant est JI/! = 0 : la fonction d ' onde peut
donc être choisie réelle.
c) Pour E > Vo nous posons E =
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- V 0 . L' état stationnaire est l/J(x) = e+ikx + re- ikx
pour x < 0 et l/J(x) = Be+iKx pour x > O. Les coefficients r et B sont donnés en faisant
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le courant de probabilité associé à cet état stationnaire : pour x < 0 nous obtenons JI/! =
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R + T = 1. Dans la limite E/Vo ~ oo la particule est insensible à la marche de potentiel,
R ~ 0 et T ~ 1. La limite E ~ Vt est plus intéressante à discuter : classiquement la
particule est tran smise avec probabilité Tc1ass = 1 dès que E > V 0 . Quantiquement nous
voyons que lorsque E ~ v;, nous obtenons R ~ 1 et T ~ O. La particule est totalement
réfléchie contrairement au cas classique.
C' est l' analogue de la réflexion d ' une onde électromagnétique à l' interface entre milieux
d' indices différents.
Exercice
Inégalité de Heisenberg
1) Une intégrale gaussienne nous donne lu~ = J dx x 2 lcp(x)l 2 = a 2 /2, i.e. l':.x' P = a/ '12. En
utilisant que la fonction d'onde dans l'espace des impulsions est également une gaussienne
ip(x) = ( :~ 2 )
1 14
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, nous obtenons l':.p' P = n/aY2. La fonction d'onde gaussienne est
donc un état de dispersion minimale l':.x
calculée par dérivation sous le signe J: fo
112 du u 2 cos(2mrx) = [ - ô~ fo
112 du cos(ax)]a= 21171 .
On obtient finalement l':.xl/J,, = a~ 1
1
2 - 2 nLr 2 • À la limite n ~ oo le résultat correspond à
une distribution de probabilité uniforme dan s la boîte. Le calcul de l':.pl /J,, est plus simple : la
particule est confinée, (p)l/J,, = O. D'autre part dans le problème libre (p 2 )1/J,, = (ntz;)
2
. Finalement le produit l':.xl/J,, l':.pl /J,, = nnn ~ / 2 - 2 ) 112 croît avec n (i.e. avec l' énergie), ce qui vient
du comportement de (p 2 )1/J,, · Ce point se comprend en analysant la structure de la fonction
d'onde: l/Jn(x) est la superposition de deux ondes planes eik,,x et e- ik,,x dans la boîte, i.e. l/;n(P)
est donnée par deux pics centrés sur ±tzk, 1 et de largeur n/a. Donc (p 2 )1/J,, = (nkn)
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par la valeur de la position des pics et non par leur largeur.
Exercice
Dualité onde-corpuscule
a) L'intensité reçue est lu(x)l 2 = 4A 2 cos 2 kd
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b) Si le photon passe par le trou du haut/bas, son impulsion varie de l':.pyx ~ +~Ï· L'impulsion est transférée à la plaque : si elle se déplace vers le haut cela signale le passage du
photon par le trou du haut. Réciproquement si la plaque se déplace vers le bas, le photon
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