-0
0
c
:J
0
lil
..-t
0
N
@
......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Une autre manière de démontrer cette propriété est d ' utiliser le théorème de GreenOstrogradsky pour Li(-~) = V· ~- Nous intégrons la divergence dan s un boule de rayon
R centrée sur l'origine îb 1 d
3 v V · % = î h d
2 cJ · % = 4nR
2 R
1
2 = 4rr indépendamment du
Jh ou e
r
J sp ere
r
.... ...
rayon de la sphère. Par conséquent V · ~ = 4m5(1).
Exercice
r +AB dxp<[Jl = limE--.0 r+AB dx ~ = limE--.0 - 2
1 ln AB~+~ = ln(B/A). QED.
JX
JX+€
+€
Exercice
Conditions aux limites généralisées
Le courant de probabilité à l'origine, Ji/! = ~ lm [l/J*(O)l/f'(O)] = ~ll/1(0)1
2 lm(A). Rappelons
qu'en une dimension Ji/! = este pour un problème stationnaire. Pour que la particule reste
confinée sur JR.+ , le courant doit s'annuler, ce qui impose À E R. Autrement dit, À E R
assure que l'opérateur - :: 2 est auto-adjoint sur JR.+, i.e. ses valeurs propres sont réelles et la
probabilité fo
00
dx l
Écrivons la solution stationnaire sous la forme l/J(x) = A (eikx+ 2 i11 + e-ikx). En imposant
l/J'(O) = Al/f(O) on obtient tan TJ = -À/k. La solution est lf!k(x) = Y'fïir cos(kx + ry), normali sée
pour que fo
00
dxl/fk(x)l/Jk'(x) = 8(k - k'). La limite À = 0 correspond à une condition de
Neunmann (TJ = 0 et l/J'(O) = 0) et À= ±oo à une condition de Dirichlet (TJ = rr/2 et l/f(O) = 0).
Exercice
Invariance de jauge
On introduit la «dérivée covariante» D ~ V - i *Â. En suivant la démonstration du cours
nous obtenons la densité de courant
....
ri
....
ri
....
....
n
. . . .
q .... 2
Ji/!= m lm [lf!*Dl/f] = 2
mi [l/l*(Dl/f) - (Dl/f)*l/I] = m lm [lf!*Vlf!] - m Ail/fi .
(B.4)
Transformation de jauge l/J(r, t) = l/f(r, t) e- ix(r,t) donc ô 1 lf!(r, t) = e+ix(r,t) [ Brl/l(r, t) +
iôrx(r, t) l/J(r, t)] et Vlf!(r, t) = e+ix(r,t) [Vl/J(r, t)+iVx(r, t) l/J(r, t) ]. En injectant ces deux expressions dan s 1' équation de Schrodinger, nous constatons que l/J(r, t) est solution de l' équation
de Schrodinger pour des potentiels modifiés: 4> =
que la transformation laisse les champs électrique et magnétique invariants.
Remarque
la dérivée D est appelée «dérivée covariante» car elle varie de la même manière que
la fonction d' onde : Dt/f = e+ix dif/ où 6 = v -i t, l
Exercice
Marche de potentiel
a) Le potentiel est non confinant, le spectre des énergies est donc continu, E E R+ . Pour
chaque énergie de E E [0, Vo] l' état stationnaire décrit une onde incidente de la gauche
et entièrement réfléchi. En revanche pour E E [V 0 , oo[ il est possible de construire deux
solutions à chaque énergie (par exemple un état incident de la gauche et un état incident
de la droite).
1i2k2
1i2q2
"k
"k
b) En posant E = 2 ~ = Vo - 2
m nous obtenons l/f(x) = e+i ·x + re1 x pour x < O et
l/f(x) = Be-qx pour x > O. Nous assurons la continuité de [ln Il/JI]' en x = 0 : ik : :~ = - q et
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0
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Une autre manière de démontrer cette propriété est d ' utiliser le théorème de GreenOstrogradsky pour Li(-~) = V· ~- Nous intégrons la divergence dan s un boule de rayon
R centrée sur l'origine îb 1 d
3 v V · % = î h d
2 cJ · % = 4nR
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Jh ou e
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rayon de la sphère. Par conséquent V · ~ = 4m5(1).
Exercice
r +AB dxp<[Jl = limE--.0 r+AB dx ~ = limE--.0 - 2
1 ln AB~+~ = ln(B/A). QED.
JX
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+€
Exercice
Conditions aux limites généralisées
Le courant de probabilité à l'origine, Ji/! = ~ lm [l/J*(O)l/f'(O)] = ~ll/1(0)1
2 lm(A). Rappelons
qu'en une dimension Ji/! = este pour un problème stationnaire. Pour que la particule reste
confinée sur JR.+ , le courant doit s'annuler, ce qui impose À E R. Autrement dit, À E R
assure que l'opérateur - :: 2 est auto-adjoint sur JR.+, i.e. ses valeurs propres sont réelles et la
probabilité fo
00
dx l
Écrivons la solution stationnaire sous la forme l/J(x) = A (eikx+ 2 i11 + e-ikx). En imposant
l/J'(O) = Al/f(O) on obtient tan TJ = -À/k. La solution est lf!k(x) = Y'fïir cos(kx + ry), normali sée
pour que fo
00
dxl/fk(x)l/Jk'(x) = 8(k - k'). La limite À = 0 correspond à une condition de
Neunmann (TJ = 0 et l/J'(O) = 0) et À= ±oo à une condition de Dirichlet (TJ = rr/2 et l/f(O) = 0).
Exercice
Invariance de jauge
On introduit la «dérivée covariante» D ~ V - i *Â. En suivant la démonstration du cours
nous obtenons la densité de courant
....
ri
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. . . .
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Ji/!= m lm [lf!*Dl/f] = 2
mi [l/l*(Dl/f) - (Dl/f)*l/I] = m lm [lf!*Vlf!] - m Ail/fi .
(B.4)
Transformation de jauge l/J(r, t) = l/f(r, t) e- ix(r,t) donc ô 1 lf!(r, t) = e+ix(r,t) [ Brl/l(r, t) +
iôrx(r, t) l/J(r, t)] et Vlf!(r, t) = e+ix(r,t) [Vl/J(r, t)+iVx(r, t) l/J(r, t) ]. En injectant ces deux expressions dan s 1' équation de Schrodinger, nous constatons que l/J(r, t) est solution de l' équation
de Schrodinger pour des potentiels modifiés: 4> =
que la transformation laisse les champs électrique et magnétique invariants.
Remarque
la dérivée D est appelée «dérivée covariante» car elle varie de la même manière que
la fonction d' onde : Dt/f = e+ix dif/ où 6 = v -i t, l
Exercice
Marche de potentiel
a) Le potentiel est non confinant, le spectre des énergies est donc continu, E E R+ . Pour
chaque énergie de E E [0, Vo] l' état stationnaire décrit une onde incidente de la gauche
et entièrement réfléchi. En revanche pour E E [V 0 , oo[ il est possible de construire deux
solutions à chaque énergie (par exemple un état incident de la gauche et un état incident
de la droite).
1i2k2
1i2q2
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b) En posant E = 2 ~ = Vo - 2
m nous obtenons l/f(x) = e+i ·x + re1 x pour x < O et
l/f(x) = Be-qx pour x > O. Nous assurons la continuité de [ln Il/JI]' en x = 0 : ik : :~ = - q et
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