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Solutions des exercices et problèmes
D 'autre part lorsque K = Kn = n~ , avec n E N*, l'amplitude de transmission est
t = (- Ire- ik,,a où k~ = K; + k5. À ces énergies la particule est transmise avec probabilité T = 1. On parle de « transparence » (ou de « résonance ») : figure 2.4. Ces valeurs de
l' énergie correspondent à une situation où l'onde est en phase après un allez-retour au niveau de la barrière. Un phénomène analogue se produit en optique lorsqu'on considère la
transmission d' une onde lumineuse à travers un film d'indice différent de celui de l'air.
Exercice
Les coefficients de Fourier sont Sn
(-Iri 2 ~n' d'où s(x) =
2 '\' oo ( l)n sin k,,x ' k _ 2 / L
-
L..Jiz= I -
---;:;---•ou 11 - nrr .
Exercice
La transformée de Fourier de la fonction porte est un sinus cardinal ira(k) =
- 1 - sinc(ka/2) où sinc(u) ~f sin u.
~
li
La fonction « toile de tente» a pour transformée de Fourier une Lorentzienne : la(k) =
1
1
~ l+(ka )2 ·
Les deux fonctions sont de largeur ~x ~ a et de hauteur fa(O) ~ l /a de telle sorte que
J dx fa(x) = 1. Par conséquent leurs TF ]a(k ) sont de largeur ~k ~ l /a et de hauteur
]a(k = 0) = -~ ·
·v2rr
Exercice
On souhaite calculer 9a * 9b· Fouriérisons, '.flga * gb] = ...ffiiga(k)gb(k), puis
utilisons que la gaussienne est stable sous la transformation de Fourier g 1 = g 1 , ou encore
'?fa = !. g l/a· Finalement 'fTga * 9 b] = .b- . e- !k
2
Ca
2
+b
2
) = !. g l/c avec c ~f Ya 2 + b 2 . Nous
a
"V2rr
c
fouriérisons inverse et arrivons à la loi de composition des gaussiennes sous la convolution
9a * 9b = 9 .../a2+b2·
Exercice
~ l/E
e~ e
~ l
X
X
0 a
Ea
Exercice
Considérons o(x
2 - x5). Écrivons f(x) = x
2 - x5. Cette fonction s'annule
pour X= ± Xo etf'(x) = 2x, donc o(x2-x5) = 21 'x1 [o(x-xo) + o(x+ Xo)]. Dans la limite Xo ~ 0
on obtient o(x
2 ) = l~l o(x).
Nous appliquons la formule précédant l' exercice pour f(x) = ~sin rrx. Les zéros sont Xn = nrr
avec n E Z; f'(x 11 ) = (- I r, d'où la formule.
Exercice
rt ['fTl/J(x)]] = f ....QLeikx f Ke- ikx l/f(x') = f dx' o(x - x') l/f(x') = l/f(x).
~
~
Exercice
On se propose d ' utiliser un résultat bien connu de l'électrostatique : une
charge placée à l'origine, i.e. une densité de charge p(f) = Q o(P) crée un potentiel électrostatique V(f) = 4 rr~or. Puisque V et p satisfont l'équation de Poisson, nous obtenons l'équation
désirée.
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D 'autre part lorsque K = Kn = n~ , avec n E N*, l'amplitude de transmission est
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l' énergie correspondent à une situation où l'onde est en phase après un allez-retour au niveau de la barrière. Un phénomène analogue se produit en optique lorsqu'on considère la
transmission d' une onde lumineuse à travers un film d'indice différent de celui de l'air.
Exercice
Les coefficients de Fourier sont Sn
(-Iri 2 ~n' d'où s(x) =
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Exercice
La transformée de Fourier de la fonction porte est un sinus cardinal ira(k) =
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J dx fa(x) = 1. Par conséquent leurs TF ]a(k ) sont de largeur ~k ~ l /a et de hauteur
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Exercice
On souhaite calculer 9a * 9b· Fouriérisons, '.flga * gb] = ...ffiiga(k)gb(k), puis
utilisons que la gaussienne est stable sous la transformation de Fourier g 1 = g 1 , ou encore
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Exercice
Considérons o(x
2 - x5). Écrivons f(x) = x
2 - x5. Cette fonction s'annule
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Nous appliquons la formule précédant l' exercice pour f(x) = ~sin rrx. Les zéros sont Xn = nrr
avec n E Z; f'(x 11 ) = (- I r, d'où la formule.
Exercice
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~
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Exercice
On se propose d ' utiliser un résultat bien connu de l'électrostatique : une
charge placée à l'origine, i.e. une densité de charge p(f) = Q o(P) crée un potentiel électrostatique V(f) = 4 rr~or. Puisque V et p satisfont l'équation de Poisson, nous obtenons l'équation
désirée.
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