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0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
CJl
·;::::
> a.
0
u
Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Nous appliquons la formule l rp = ~lm [
'::;Re [1- lrl
2 - re2 ikx + r* e
2 ikx] = :~(l -lrl
2 ). Chaque terme est du type Vk X lamplitudej2, où
Vk ~ '::; est la vitesse. Nous idenfions donc la somme de deux contributions, l rp = linc + lrefl :
un courant incident linc = Vk et un courant réfléchi lrefl = -vklrl
2 .
Dans l'intervalle 0 < x B e-qx)] = tiq lm [IAl 2 e 2 qx - IBl 2 e- 2 qx + B* A - A * B] = 1iq2 lm[B*A].
m
m
Pour x > 0 on obtient le courant transmis l rp = ltrans = ' ::; lti2 .
Les coefficients sont tels que les trois expressions doivent être égales, 1.e. 1 - lrl
2 =
2
: lm[B*A] = ltl
2 .
Exercice
Effet tunnel
On impose la continuité de
l+r=A+B
ik(l - r) = q(A - B)
(B.l)
On élimine A et B pour obtenir un couple d'équations pour r et t. La solution de ce système
nous donne les amplitudes des ondes transmise et réfléchie
e- ika
t =
.
k
ch qa + H t - q) sh qa
et
r =
.
k
ch qa + ~ ( t - q) sh qa
i (q k) h
-- - + - s qa
2 k
q
(B.2)
On peut vérifier que dans la limite k 0 ~ oo le coefficient de réflexion tend vers r ~ - 1
décrivant un mur impénétrable. On vérifie sans problème que R + T = lr1
2 + ltl
2 = l en
utilisant (t + ~)
2
=Ci - ~)
2 + 4.
Finalement lorsque la barrière est haute/épaisse, qa » 1, nous obtenons une amplitude de
probabilité exponentiellement petite t ~ 2(1 - ~~~ f 1 e- qa- ika, i.e. ltl « 1.
Exercice
Le microscope à effet tunnel mesure le relief d'une surface sur laquelle la
densité électronique est constante. Lorsque le cercle d'atomes de Fer est formé à la surface,
ils confinent les électrons de surface du cuivre dans un disque. Les « vagues » correspondent
aux ventres d' un bel état stationnaire à symétrie circulaire du di sque.
Exercice
Lorsque E > Vo, la fonction d 'onde dans la région [O, a] est du type propagative
2
= ;,:(K
2 - kâ). En partant de la
solution obtenue pour E < V 0 , il suffit donc de procéder à la substitution q ~ iK dans la
fonction d'onde, donc également dans les expressions der et t obtenues dans l'exercice 2.3.
La tran smission est donc dans ce cas :
e- ika
t = - - - - - - - -
ik6 .
cos Ka + 2 Kk sm Ka
(B.3)
Nous vérifions que la probabilité de transmission tend vers T ~ 1 à haute énergie E/Vo ~ oo
(Fig. 2.4).
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Annexe B • Solutions des exercices et problèmes
Exercice
Nous appliquons la formule l rp = ~lm [
'::;Re [1- lrl
2 - re2 ikx + r* e
2 ikx] = :~(l -lrl
2 ). Chaque terme est du type Vk X lamplitudej2, où
Vk ~ '::; est la vitesse. Nous idenfions donc la somme de deux contributions, l rp = linc + lrefl :
un courant incident linc = Vk et un courant réfléchi lrefl = -vklrl
2 .
Dans l'intervalle 0 < x B e-qx)] = tiq lm [IAl 2 e 2 qx - IBl 2 e- 2 qx + B* A - A * B] = 1iq2 lm[B*A].
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Pour x > 0 on obtient le courant transmis l rp = ltrans = ' ::; lti2 .
Les coefficients sont tels que les trois expressions doivent être égales, 1.e. 1 - lrl
2 =
2
: lm[B*A] = ltl
2 .
Exercice
Effet tunnel
On impose la continuité de
l+r=A+B
ik(l - r) = q(A - B)
(B.l)
On élimine A et B pour obtenir un couple d'équations pour r et t. La solution de ce système
nous donne les amplitudes des ondes transmise et réfléchie
e- ika
t =
.
k
ch qa + H t - q) sh qa
et
r =
.
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ch qa + ~ ( t - q) sh qa
i (q k) h
-- - + - s qa
2 k
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(B.2)
On peut vérifier que dans la limite k 0 ~ oo le coefficient de réflexion tend vers r ~ - 1
décrivant un mur impénétrable. On vérifie sans problème que R + T = lr1
2 + ltl
2 = l en
utilisant (t + ~)
2
=Ci - ~)
2 + 4.
Finalement lorsque la barrière est haute/épaisse, qa » 1, nous obtenons une amplitude de
probabilité exponentiellement petite t ~ 2(1 - ~~~ f 1 e- qa- ika, i.e. ltl « 1.
Exercice
Le microscope à effet tunnel mesure le relief d'une surface sur laquelle la
densité électronique est constante. Lorsque le cercle d'atomes de Fer est formé à la surface,
ils confinent les électrons de surface du cuivre dans un disque. Les « vagues » correspondent
aux ventres d' un bel état stationnaire à symétrie circulaire du di sque.
Exercice
Lorsque E > Vo, la fonction d 'onde dans la région [O, a] est du type propagative
= ;,:(K
2 - kâ). En partant de la
solution obtenue pour E < V 0 , il suffit donc de procéder à la substitution q ~ iK dans la
fonction d'onde, donc également dans les expressions der et t obtenues dans l'exercice 2.3.
La tran smission est donc dans ce cas :
e- ika
t = - - - - - - - -
ik6 .
cos Ka + 2 Kk sm Ka
(B.3)
Nous vérifions que la probabilité de transmission tend vers T ~ 1 à haute énergie E/Vo ~ oo
(Fig. 2.4).
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