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CHAPITRE 1
SOLUTIONS
DES EXERCICES
'
ET PROBLEMES
Exercice
Considérons une particule soumise à un potentiel V(r) = -k/r. Étudions une
trajectoire circulaire; la RFD nous donne u = yk/(mr) et donc la période T = 2rr ..,/mr 3 /k
(troisième loi de Kepler). L'action pendant une période est S = T(1mv
2 - ~) = -rr .y;:;;f;._ On
applique ce résultat aux deux situations.
a) Terre autour du soleil: S 0 = -rrM 0 ..,/GM 0 Rt-s, soit S 0 ~ -10
75 1i.
b) S electron = -rrn.
Exercice
Pour une particule non relativiste de masse m la relation entre énergie et
impulsion est E = p
2 /(2m). En utilisant les relations d'Einstein et de Broglie nous obtenons la
relation de dispersion w = 1ik 2 /(2m). Dans le cas relativiste en partant de E = ..,/ p 2 c 2 + m 2 c 4
nous obtenons w = ..,/k2c2 + m2c 4 /n2.
Exercice
Considérons le mouvement sur une demie période, lorsque la particule va
d'un point de rebroussement à l'autre (de x = a à x = b) : à partir de E = !mx
2 + V(x)
nous obtenons dt = dx/ ~~ [E - V(x)] que nous intégrons Tc 1 /2 = Lb dx/ ~~ [E - V(x)].
QED. Nous remarquons que Tc 1 (E) = 8 ~ S(bla; E), ce qui est la relation symétrique de
E = -fis c1 (x2, tlx1, 0). Dans le cas de l'oscillateur harmonique, V(x) = 1mw
2 x 2 on retrouve facilement que la période est indépendante de l'énergie, T = 2rr/w, en utilisant
f_~
1
dx/ Yl - x 2 = rr (éq. (A.8)).
CHAPITRE 2
Exercice
a)
La solution est y(x) = y(O) exp - fox dx' K(x'). Si K(x) est discontinue mais bornée
sur [a, b], alors fox dx' K(x') et donc y(x) sont continues sur l' intervalle. De même si
K(x) E en([a, b ]), alors y(x) E en+ 1 ([a, b ]).
b&c) Nous considérons l'équation différentielle <.p"(x) = V(x)<.p(x), où V(x) ctg V(x)-E. Nous
pouvons reécrire l'équation différentielle du second ordre comme un couple d'équations différentielles du premier ordre : <.p'(x) = x(x) & x'(x) = V(x)<.p(x). D'après la
première question , si V(x) E en([a, b ]), alors X(X) E en+ 1 ([a, b]) et <.p(x) E en+ 2 ([a, b ]).
Conclusion : si le potentiel est borné (mais pas forcément continu), alors <.p(x) et <.p'(x)
sont continues partout.
Remarque
Si V(x 0 ) = oo, cp' (x) est disco ntinue en x 0 mais cp(x) est co ntinue.
313
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SOLUTIONS
DES EXERCICES
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ET PROBLEMES
Exercice
Considérons une particule soumise à un potentiel V(r) = -k/r. Étudions une
trajectoire circulaire; la RFD nous donne u = yk/(mr) et donc la période T = 2rr ..,/mr 3 /k
(troisième loi de Kepler). L'action pendant une période est S = T(1mv
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applique ce résultat aux deux situations.
a) Terre autour du soleil: S 0 = -rrM 0 ..,/GM 0 Rt-s, soit S 0 ~ -10
75 1i.
b) S electron = -rrn.
Exercice
Pour une particule non relativiste de masse m la relation entre énergie et
impulsion est E = p
2 /(2m). En utilisant les relations d'Einstein et de Broglie nous obtenons la
relation de dispersion w = 1ik 2 /(2m). Dans le cas relativiste en partant de E = ..,/ p 2 c 2 + m 2 c 4
nous obtenons w = ..,/k2c2 + m2c 4 /n2.
Exercice
Considérons le mouvement sur une demie période, lorsque la particule va
d'un point de rebroussement à l'autre (de x = a à x = b) : à partir de E = !mx
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nous obtenons dt = dx/ ~~ [E - V(x)] que nous intégrons Tc 1 /2 = Lb dx/ ~~ [E - V(x)].
QED. Nous remarquons que Tc 1 (E) = 8 ~ S(bla; E), ce qui est la relation symétrique de
E = -fis c1 (x2, tlx1, 0). Dans le cas de l'oscillateur harmonique, V(x) = 1mw
2 x 2 on retrouve facilement que la période est indépendante de l'énergie, T = 2rr/w, en utilisant
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CHAPITRE 2
Exercice
a)
La solution est y(x) = y(O) exp - fox dx' K(x'). Si K(x) est discontinue mais bornée
sur [a, b], alors fox dx' K(x') et donc y(x) sont continues sur l' intervalle. De même si
K(x) E en([a, b ]), alors y(x) E en+ 1 ([a, b ]).
b&c) Nous considérons l'équation différentielle <.p"(x) = V(x)<.p(x), où V(x) ctg V(x)-E. Nous
pouvons reécrire l'équation différentielle du second ordre comme un couple d'équations différentielles du premier ordre : <.p'(x) = x(x) & x'(x) = V(x)<.p(x). D'après la
première question , si V(x) E en([a, b ]), alors X(X) E en+ 1 ([a, b]) et <.p(x) E en+ 2 ([a, b ]).
Conclusion : si le potentiel est borné (mais pas forcément continu), alors <.p(x) et <.p'(x)
sont continues partout.
Remarque
Si V(x 0 ) = oo, cp' (x) est disco ntinue en x 0 mais cp(x) est co ntinue.
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