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A.1 . Compléments mathématiques
où ( n) = '( n~ )' [sin et p ne sont pas entiers, la factorielle n! est remplacée par la
p
p. n p.
fonction T(n + 1)]. La fonction génératrice de ces polynômes est
OO
J1
a
1
Zf
i L
-
ex - - -
n (z) - (1 - t)a+ l p 1 - t .
n=O
(A.25)
Les premiers polynômes sont : Lg(z) = 1, Lr(z) = 1 +a - z, L~(z) = Ho + a)(2 +
a) - 2(2 + a)z + z
2 ], etc.
0 d
L a(O)
I'(n+a+l)
·
·1
n onne n
= I'(n+l)I'(a+ l), qm sera ut1 e.
A.1.4 Fonctions cylindriques
L'équation de Bessel apparaît naturellement dans les problèmes bidimensionnels à
symétrie de révolution :
(
d
2
1 d
v2)
- + - - + 1 - - Zv(z)=O.
dz 2
z dz
z
2
(A.26)
Elle admet différentes bases de solutions. Une première base est fournie par les fonctions de Bessel (régulières à l'origine si v ~ 0)
oo
(z/2)2n+v
l v(z) = Ic-1t---n=O
n!T(v + n + 1)
(A.27)
et les fonctions de Neumann (Bessel de seconde espèce), singulières à l'origine,
COS JTV fv(Z) - f _v(Z)
Nv(Z) =
.
pour v StnJTV
(A.28)
Lorsque v = n E N :
1
Z
n-l (n - k - 1)! (2)n2
k
Nn(Z) = -{2 ln(Z) ln - - (1 - Ôn,o) I
1
-
7r
2
k=O
k.
Z
- ~ (-l)k(zl
2
r+
2
k [lf!(n + k + 1) + lf!(k + 1)] }· (A.29)
k=O k!(n + k)!
Pour des indices entiers, la représentation intégrale est utile
l n(Z) = i- n
_ ein8+ izcos 8.
L
2rr dB
0
2rr
(A.30)
Remarquons que pour un indice entier J_n(Z) = l n(z ).
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