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Annexe A • Formulaire
Les comportements asymptotiques de ces fonctions sont
f v(Z) ::::::'. Hz COS (z - '!_V - '!_)
(A.31)
z~oo
z
2
4
Nv(Z) ::::::'. Hz sin (z - '!_v - '!_)
(A.32)
z~oo
z
2
4
ce qui suggère qu'une autre base de fonctions intéressantes est donnée par les fonctions de Hankel (Bessel de troisième espèce)
H~
1
)(z) = lv(Z) + i Nv(z)
(A.33)
et H~
2
)(z) = l v(z) -i Nv(z) (sa conjuguée si z , v E JR.). Le comportement asymptotique
est
H
( I)
Hz i(z-!!:v-!!:)
V
::::::' .
-e 2 4 •
z~oo
JrZ
(A.34)
Le comportement limite de la fonction de Hankel d'indice v
utile :
0 est également
H(I) ::::::' .
2
i ln (zec /2) + 1
0 z~o 7r
(A.35)
où C : : : : : : ' . -0.577215 est la constante d'Euler-Mascheroni.
Finalement, la fonction de MacDonald (Bessel de troisième espèce modifiée) est
définie par
(A.36)
Elle présente le comportement asymptotique Kv(z) : : : : : : ' . .Jfz e- z pour z ~ oo. À l'origine, z ~ 0, elle présente le comportement en loi de puissance Kv(z) : : : : : : ' . 2v-l T(v)z-v
pour un indice non entier. Notons aussi que Ko(z) : : : : : : ' . ln(2/z) - C pour z ~ O.
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Pour en savoir plus
Pour une présentation pédagogique de la théorie des fonctions hypergéométriques et
l'étude des fonctions spéciales et des polynômes orthogonaux:
A. Nikiforov & V. Ouvarov, Fonctions spéciales de la physique mathématique, Mir,
Moscou (1983) .
D'autres références classiques sur les fonctions spéciales:
M. Abramowitz & I.A. Stegun (editors), Handbook of Mathematicalfunctions, Dover
(1964).
I. S. Gradshteyn & I. M. Ryzhik, Table of integrals, series and products, Academic Press
(1994).
• Le site « Digital Library of Mathematical Functions » , http://dlmf.nist.gov/