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Annexe A • Formulaire
Nom (Pn)
cr(z)
T(Z)
Àn
p(z)
[a, b]
Bn
Hermite Hn
1
-2z
2n
e -zl. ] - oo, +oo[
(-Ir
Legendre Pn 1 - z 2
-2z
n(n + 1) 1
[-1,+1] (-1r1c2n n!)
Laguerre L~
z
-z + œ + 1
n
zae-z [O, +oo[
1/n!
Énonçons explicitement certaines des propriétés données dans le tableau.
Polynômes d'Hermite
La formule de Rodrigues prend la forme
Hn(Z) = ez - - e-z = n! ' °" -.
2 (
d ln
2
Ln/2J (-1 )k (2z)n-2k
dz
~ k! (n - 2k)!
Nous déduisons de cette expression la relation de récurrence
Hn(Z) = ( 2z - :z) Hn- 1 (z).
Nous pouvons calculer la fonction génératrice
OO
n
L: !_ Hn(Z) = e2zt-t2 .
n=O n!
11Pnll
2
2nn! yn
2
2n+l
T(n+a+I)
n!
(A.19)
(A.20)
(A.21)
Calculons les premiers polynômes : Ho(z ) = 1, H 1 (z) = 2z, H 2 (z ) = 4z 2 - 2, etc.
Polynômes de Legendre
La formule de Rodrigues prend la forme
p
= _ 1_ dn 2 - 1 n = _.!.._ Ln/2J (-l)k(2n - 2k)! n- 2k
n(Z)
2n n! dzn (z
)
2n 2o k!(n - k)!(n - 2k)! Z ·
La fonction génératrice des polynômes de Legendre est
OO
1
L: tn Pn(Z) =
.
n=O
Y 1 - 2zt + t 2
Les premiers polynômes sont : Po(z) = 1, P 1 (z) = z, P2(z) =
3
z~1
, etc.
Polynômes de Laguerre
La formule de Rodrigues prend la forme
308
(A.22)
(A.23)
(A.24)