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A.1 . Compléments mathématiques
où Bn est une constante choisie conventionellement. Chaque famille de polynômes
orthogonaux est définie sur un intervalle [a, b] t.q. cr(z)p(z)zk s'annule pour z = a et
z = b V k E N. Ils satisfont une condition d'orthonormalisation sur cet intervalle
[ dz p(z) Pn (z) Pm (z) = Ôn,m llPn 11
2
,
(A.13)
où llPnll est une constante désignant la norme du polynôme, reliée au choix de Bn.
Une dernière remarque intéressante est qu'il est possible de construire la fonction
génératrice, ce qui offre une manière alternative (mais équivalente) de la formule de
Rodrigues pour calculer les polynômes Pn(Z) :
""( ) ~ I :_ -c ) - - _!_ p s
OO
n
1 ~d
()
""' z, t -
Pn z -
n=O n!
p(z) c 2in s - z - cr(s)t
(A.14)
où le contour C entoure z dans le plan complexe de la variable s (mais pas d'autre
singularité). Le théorème des résidus nous fournit l'expression explicite de la fonction
génératrice :
<:J>(z, t) = p(so)
1
p(z) 1 - cr'(so) t
où so est solution des - z - cr(s) t = O.
(A.15)
Une fois cette fonction connue, ses dérivées successives de <:J>(z, t) donnent les polynômes ftn(Z) (i.e. Pn(Z) à la constante arbitraire Bn près).
Nous pouvons appliquer ces résultats généraux à trois familles particulières qui
jouent un rôle en mécanique quantique :
1. Les polynômes
(A.16)
Cette équation apparaît dans l' étude de l' oscillateur harmonique unidimensionnel.
2. Les polynômes de Legendre, solutions de
(1 - z
2
) P~ (z) - 2z P~(z) + n(n + 1) P n(Z) = 0,
(A.17)
interviennent dans le calcul des harmoniques sphériques (fonctions propres du
moment orbital dans R 3 ).
3. Les polynômes de Laguerre, solutions de
z [L~(z)]" + (1 +a - z) [L~(z)]' + n L~(z) = 0,
(A.18)
apparaissent dans le problème d ' un oscillateur bidimensionnel isotrope, ou
dans le problème de Landau (particule en champ magnétique uniforme). Ils
permettent également de résoudre l'équation de Schrodinger pour un potentiel
en - 1/r (atome d' hydrogène).
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où Bn est une constante choisie conventionellement. Chaque famille de polynômes
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z = b V k E N. Ils satisfont une condition d'orthonormalisation sur cet intervalle
[ dz p(z) Pn (z) Pm (z) = Ôn,m llPn 11
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(A.13)
où llPnll est une constante désignant la norme du polynôme, reliée au choix de Bn.
Une dernière remarque intéressante est qu'il est possible de construire la fonction
génératrice, ce qui offre une manière alternative (mais équivalente) de la formule de
Rodrigues pour calculer les polynômes Pn(Z) :
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(A.14)
où le contour C entoure z dans le plan complexe de la variable s (mais pas d'autre
singularité). Le théorème des résidus nous fournit l'expression explicite de la fonction
génératrice :
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où so est solution des - z - cr(s) t = O.
(A.15)
Une fois cette fonction connue, ses dérivées successives de <:J>(z, t) donnent les polynômes ftn(Z) (i.e. Pn(Z) à la constante arbitraire Bn près).
Nous pouvons appliquer ces résultats généraux à trois familles particulières qui
jouent un rôle en mécanique quantique :
1. Les polynômes
(A.16)
Cette équation apparaît dans l' étude de l' oscillateur harmonique unidimensionnel.
2. Les polynômes de Legendre, solutions de
(1 - z
2
) P~ (z) - 2z P~(z) + n(n + 1) P n(Z) = 0,
(A.17)
interviennent dans le calcul des harmoniques sphériques (fonctions propres du
moment orbital dans R 3 ).
3. Les polynômes de Laguerre, solutions de
z [L~(z)]" + (1 +a - z) [L~(z)]' + n L~(z) = 0,
(A.18)
apparaissent dans le problème d ' un oscillateur bidimensionnel isotrope, ou
dans le problème de Landau (particule en champ magnétique uniforme). Ils
permettent également de résoudre l'équation de Schrodinger pour un potentiel
en - 1/r (atome d' hydrogène).
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