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Annexe A • Formulaire
• Fonction Digamma
La fonction Digamma est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction T :
"'( ) ~ T'(z).
'{J z
T(z)
(A.7)
On déduit immédiatement la relation fonctionnelle l/J(z + 1) = l/J(z) + ?·Donnons la
valeur l/f(l) = C ~ -0.577215 (constante d'Euler-Mascheroni).
• Fonction Beta
D'autres intégrales très utiles s'expriment à l'aide de la fonction f3 d'Euler
l
l
.
lrr/ 2
T(µ)T(v)
B(µ, v) =
dt tµ-I(l - tr- 1 = 2
de sin 2 µ-l e cos 2 v-l e =
. (A.8)
o
o
T(µ + v)
A.1.3 Polynômes orthogonaux
Reprenons brièvement quelques éléments de la théorie des polynômes orthogonaux.
L'équation hypergéométrique
1
a-(z) y" (z) + r(z) y' (z) + A y(z) = 0
(A.9)
où a-(z) et r(z) sont des polynômes de degrés au plus 2 et 1 respectivement, est une
équation différentielle qui apparaît dans de très nombreux contextes.
Cette équation admet des solutions polynômiales, que nous noterons y(z) ---7 Pn(z),
pour des valeurs discrètes du paramètre À :
,
n(n - 1) ,,
Àn = -n r (z) -
2
a- (z)
avec n E N .
(A.10)
Ces solutions peuvent être construites systématiquement de la manière suivante. Si
nous introduisons
~ _ 1_ ex Iz d ' r(z')
p(z) - a-(z)
P
z a-(z')'
(A.11)
les polynômes sont donnés par la formule de Rodrigues
et Pn(Z) = Bn Pn(Z)
(A.12)
1. La forme générale de l' équation hypergéométrique est u" (z) + ;i~ u' (z) + ;~fi u(z) = 0 où a-(z) et cr(z)
sont des polynômes de degré au plus égal à 2 et f (z) un polynôme de degré au plus égal à 1. Parmi les
transformations u(z) ~ y (z) laissant la forme de l'équation invariante , il est possible d' en choisir une
telle que cr(z) ~ A a-(z) (le polynôme de degré l est alors changé f(z) ~ T(z)), i.e. l'équation (A.9).
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