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FORMULAIRE
A.1 COMPLÉMENTS MATHÉMATIQUES
A.1.1 Quelques intégrales
L'intégrale gaussienne
L'intégrale de la lorentzienne
r+oo
1
n
J _oo dx x2 + a2 = -;_ .
L' intégrale du sinus cardinal et de son carré :
L
+oo sin x l +oo ( sin x )
2
dx-- =
dx - - =n.
OO
X
-OO
X
A.1.2 Fonction r, Digamma ifJ et fonction f3 d'Euler
(A.l)
(A.2)
(A.3)
Il est très utile d'avoir en tête quelques propriétés des fonctions spéciales. Cela permet
bien souvent une meilleure efficacité dans les calculs.
• Fonction Gamma
Toutes les intégrales du type fo
00
dx X' e- Ji peuvent être reliées à la fonction r. Il est
donc très utile d'avoir quelques propriétés en tête. Une définition :
I'(z) ~ f dtt' -
1 e-' pour Re z> O.
(A.4)
Dont on déduit facilement la propriété :
T(z + 1) = z T(z)
(A.5)
qui permet d ' étendre la définition à l ' autre partie du plan complexe, i.e. pour Re z~ O.
Donnons les deux valeurs (faciles à retrouver) :
I'(l) = 1
et
I'(l/2) = vrr
(A.6)
[la seconde valeur correspond à 1 ' intégrale (A.1)]. On déduit immédiatement
T(n + 1) = n!.
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