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Problème
Problème
1@11 Conductivité Hall d'un gaz d'électrons 20
Nous étudions des électrons confinés dans un plan et étudions l' effet d'un champ
électrique 8ûx (dans le plan) en sus du champ magnétique (perpendiculaire au plan),
cf. figure 16.2.
12 ------+---+-----+----+----+------' -,----. 10 ------+-----+-----+----+-----+------ --Cl
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l ~ 3 ~ ~ 6
Champ magnétique (Tesla)
Figure 16.2 - Effet Hall quantique.
À gauche : schéma du dispositif pour la mesure de la résistivité Hall Pxv : un gaz d'électrons dans un plan est soumis à un champ magnétique B Uz et à un champ électrique
8 Ux- On mesure le courant transverse. À droite : Résistivités transverse (pxy) et longitudinale (pxx) d'un gaz d'électrons bidimensionnel (à une température de T == 8 mK). Données
tirées de la conférence Nobel de Klaus von Klitzing, Rev. Mod. Phys. 58, 519 (1986).
1) Champ magnétique et champ électrique perpendiculaires. Un électron est soumis à un champ électrique dans la direction Ûx . L'hamiltonien est:
p;
(py - qeBx)
2
H e= -
+
- qe8x.
(16.19)
2m*
2m*
On reprend l'analyse du cours : montrer que les états propres de He sont encore de
la forme (1 6.7) et déduire comment l'équation (16.8) est modifiée. Trouver les nouvelles valeurs propres de l'énergie, notées En,k· qui dépendent maintenant du nombre
quantique k.
2) Courant. La densité de courant moyennée spatialement est donnée par l'opérateur
J = ~ v où S est la surface du plan. On introduit le courant moyen associé à l'état
propre de He :
(16.20)
303