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>a.
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Chapitre 16 • Particule chargée dans un champ magnétique
d) Montrer que les fonctions d'onde du premier niveau de Landau sont de la forme:
m.wc -
l/to(z, z) = f(z) e- 4ilzz où f(z) est une fonction holomorphe quelconque de la
variable complexe z = x + iy. Si f (z) = z:n, vérifier que m est le moment orbital.
l@IMID Barre de Hall et états de bord
On considère un électron soumis à un champ magnétique uniforme et confiné selon
la direction Ox par un potentiel harmonique Vconf(X) = 4m*w6x
2 . En choisissant la
jauge de Landau, l'Hamiltonien est H = 2 ;n. P~ + 2 !. (py - qBx)
2 + 4m*w6x
2 .
a) Analyse classique : résoudre les équations du mouvement classique. Montrer que
la vitesse de dérive vd selon Oy est contrôlée par la position moyenne Xe selon Ox.
Dans les questions suivantes, on analyse le problème quantiquement.
b) L'invariance par translation dans la direction Oy permet de chercher les états quantiques sous la forme l/f(x, y) = eikycp(x). Montrer que cp(x) obéit à une équation de
Schrodinger pour un oscillateur harmonique lD. Déduire le spectre des énergies.
c) Calculer la vitesse moyenne vy associée à un état stationnaire. Retrouver la relation entre vd et Xe. Où circule le courant?
d) Dans la limite où le confinement est faible (w 0 << we), montrer que le spectre
des énergies est de la forme En,Xc ~ nwe(n + !) + Vconf(Xc). Si on considère un
potentiel confinant arbitraire, à quelle condition cette relation reste-t-elle valable?
Que peut-on dire sur le courant porté par les états quantiques ?
lliJjll1D Courant permanent induit par un vortex magnétique
On considère la situation étudiée dans la section 16.3.
a) Calculer le courant à travers une ligne semi-infinie issue de l' origine associé à
b)
c)
302
l'état stationnaire (16. 15): lm(k) ~ q fo
00
drue · J~k,m (t) . On utilisera l' intégrale
fo
00
d : 1;(x) = dv (formule [6.574] .2 de Gradshteyn & Ryzhik, Table of integrals,
series and products).
Le courant total des états d'énergie dans [E, E + dE[ est d/(E; c/>) =
.L:~~-oo Im(k)dk. Une estimation naïve de la somme pourrait être oo - oo = O ...
ou - 1 si on singularisait la contribution de m = O. Ces deux résultats sont incorrects : différentes régularisations de la somme dans ce contexte conduisent à
.L:~~-oo sign(m - œ) = 2œ - 1. Déduire le courant total d ' un gaz d'électrons dégénéré I éF(c/>) = foEF dl(E; cp).
Dans cette dernière question on discute une relation avec les propriétés de diffusion. Vérifier que I m(E) ~ lm(k) ~~ = +~ k17m où 1Jm est le déphasage obtenu
dans la section 16.3.2. En utilisant la règle de somme de Krein-Friedel, déduire
une relation entre le courant permanent des états d'énergie E, d/(E; cp), et la matrice S (i.e. les déphasages).
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Chapitre 16 • Particule chargée dans un champ magnétique
d) Montrer que les fonctions d'onde du premier niveau de Landau sont de la forme:
m.wc -
l/to(z, z) = f(z) e- 4ilzz où f(z) est une fonction holomorphe quelconque de la
variable complexe z = x + iy. Si f (z) = z:n, vérifier que m est le moment orbital.
l@IMID Barre de Hall et états de bord
On considère un électron soumis à un champ magnétique uniforme et confiné selon
la direction Ox par un potentiel harmonique Vconf(X) = 4m*w6x
2 . En choisissant la
jauge de Landau, l'Hamiltonien est H = 2 ;n. P~ + 2 !. (py - qBx)
2 + 4m*w6x
2 .
a) Analyse classique : résoudre les équations du mouvement classique. Montrer que
la vitesse de dérive vd selon Oy est contrôlée par la position moyenne Xe selon Ox.
Dans les questions suivantes, on analyse le problème quantiquement.
b) L'invariance par translation dans la direction Oy permet de chercher les états quantiques sous la forme l/f(x, y) = eikycp(x). Montrer que cp(x) obéit à une équation de
Schrodinger pour un oscillateur harmonique lD. Déduire le spectre des énergies.
c) Calculer la vitesse moyenne vy associée à un état stationnaire. Retrouver la relation entre vd et Xe. Où circule le courant?
d) Dans la limite où le confinement est faible (w 0 << we), montrer que le spectre
des énergies est de la forme En,Xc ~ nwe(n + !) + Vconf(Xc). Si on considère un
potentiel confinant arbitraire, à quelle condition cette relation reste-t-elle valable?
Que peut-on dire sur le courant porté par les états quantiques ?
lliJjll1D Courant permanent induit par un vortex magnétique
On considère la situation étudiée dans la section 16.3.
a) Calculer le courant à travers une ligne semi-infinie issue de l' origine associé à
b)
c)
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l'état stationnaire (16. 15): lm(k) ~ q fo
00
drue · J~k,m (t) . On utilisera l' intégrale
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d : 1;(x) = dv (formule [6.574] .2 de Gradshteyn & Ryzhik, Table of integrals,
series and products).
Le courant total des états d'énergie dans [E, E + dE[ est d/(E; c/>) =
.L:~~-oo Im(k)dk. Une estimation naïve de la somme pourrait être oo - oo = O ...
ou - 1 si on singularisait la contribution de m = O. Ces deux résultats sont incorrects : différentes régularisations de la somme dans ce contexte conduisent à
.L:~~-oo sign(m - œ) = 2œ - 1. Déduire le courant total d ' un gaz d'électrons dégénéré I éF(c/>) = foEF dl(E; cp).
Dans cette dernière question on discute une relation avec les propriétés de diffusion. Vérifier que I m(E) ~ lm(k) ~~ = +~ k17m où 1Jm est le déphasage obtenu
dans la section 16.3.2. En utilisant la règle de somme de Krein-Friedel, déduire
une relation entre le courant permanent des états d'énergie E, d/(E; cp), et la matrice S (i.e. les déphasages).