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Exercices
Exercices
IC:llW Ordres de grandeur
a) Calculer le quantum de flux en Gauss.µm 2 (1 T = 10000 Gauss).
Il est possible de piéger les électrons dans un plan à l'interface de deux semiconducteurs GaAs et GaAlAs. Dans cette situation, la masse dans l 'Hamiltonien est
une « masse effective» m* = 0.067me où me == 1030 kg est la masse d'un électron
«nU».
b) L' écart entre les deux premiers niveaux d 'énergie caractérisant le confinement
transverse est typiquement E 1 - Eo == 10 me V(§ 16.2.2.a). En dessous de quelle
température peut-on considérer la physique des électrons piégés à l'interface strictement bidimensionnelle ?
c) Pour un champ magnétique B = 1 T, calculer la valeur de e B (en nm) et nwc (en
eV). Convertir cette énergie en Kelvin.
IC:tjjfüb Densité d'états du problème de Landau 20 et 30
Calculer la densité d'états p< 3 D)(E) de l'Hamiltonien décrivant une charge soumise
à un champ magnétique uniforme dans l'espace tridimensionnel. Tracer l'allure de
p< 30 )(E) et la comparer à celle du problème bidimensionnel p< 20 )(E).
IMMD Problème de Landau dans la jauge symétrique
Nous reprenons l'analyse du problème d'une particule chargée dans un plan et soumise à un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan, en nous plaçant dans
la jauge symétrique. L'intérêt de cette étude est de souligner le rôle de la symétrie sous les rotations. On considère }'Hamiltonien (1 6.1) pour le potentiel vecteur
A
--+(;;t\
1 --+
--+
r,= 2 Bxr.
->2
2
a) Montrer que le Hamiltonien peut se mettre sous la forme : H = fm. + ~· ( ~c ) r
2 -
~c ez où ez = XPy - Y Px est le moment cinétique .
b) Nous introduisons deux couples d'oscillateurs création/annihilation ax, al, ay, ai ,
définis de la manière usuelle: ax ~ /mif x + ~Px, etc. Écrire l z puis H en
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m. W c
terme de ces opérateurs.
c) On introduit deux nouveaux couples, combinaisons linéaires des précédents :
def
l (
. )
b def l (
· ) M
,,
· ~
b ·
a = Y2 ax + Iay et = Y2 ax - Iay . ontrer que ces operateurs satls1ont 1en
des relations de commutations : [a, at] = 1, [b, bt ] = 1, tous les autres commutateurs étant nuls [a, b] = 0, etc. Exprimer ez puis H en terme de ces opérateurs.
Retrouver le spectre de Landau.
301
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a) Calculer le quantum de flux en Gauss.µm 2 (1 T = 10000 Gauss).
Il est possible de piéger les électrons dans un plan à l'interface de deux semiconducteurs GaAs et GaAlAs. Dans cette situation, la masse dans l 'Hamiltonien est
une « masse effective» m* = 0.067me où me == 1030 kg est la masse d'un électron
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b) L' écart entre les deux premiers niveaux d 'énergie caractérisant le confinement
transverse est typiquement E 1 - Eo == 10 me V(§ 16.2.2.a). En dessous de quelle
température peut-on considérer la physique des électrons piégés à l'interface strictement bidimensionnelle ?
c) Pour un champ magnétique B = 1 T, calculer la valeur de e B (en nm) et nwc (en
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IC:tjjfüb Densité d'états du problème de Landau 20 et 30
Calculer la densité d'états p< 3 D)(E) de l'Hamiltonien décrivant une charge soumise
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IMMD Problème de Landau dans la jauge symétrique
Nous reprenons l'analyse du problème d'une particule chargée dans un plan et soumise à un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan, en nous plaçant dans
la jauge symétrique. L'intérêt de cette étude est de souligner le rôle de la symétrie sous les rotations. On considère }'Hamiltonien (1 6.1) pour le potentiel vecteur
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Retrouver le spectre de Landau.
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