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> a.
0
u
Chapitre 16 • Particule chargée dans un champ magnétique
où nous avons posé E = n 2
2
k
2
, avec k ER+. Nous reconnaissons l'équation de Bessel
m.
(annexe A). Finalement les états propres associés au spectre continu sont donnés par 3
7\
fk
im8
l/lk,m(r; = '/ ~ l im-al(kr) e ,
(16.15)
où le préfacteur assure la condition de normalisation ( lf!k,m 11/!k' ,m') = ô(k - k') Ôm,m'.
Ces états nous permettent de définir les déphasages caractérisant le problème de diffusion par le vortex magnétique : en utilisant le comportement asymptotique des fonctions de Bessel, éq. (A.3 1), nous obtenons
1f
T/m = - (lml - lm - al) .
2
(16.16)
Ces déphasages sont indépendants de l'énergie, ce qui traduit l' invariance d'échelle
du problème. De plus ils ne décroissent pas avec m, ce qui est dû à la porté infinie
de l' interaction. Ils nous permettent d'obtenir l'amplitude de diffusion (10.48) caractérisant la diffusion d'une onde plane par le vortex. Le calcul de la série donne4
ei 8 1 2 sin na
JA.P,(B) = -
.
.
y2ink sm(B/2)
(16.17)
Nous retrouvons la périodicité du problème en fonction du flux magnétique. La section efficace totale diverge, conséquence de la portée infinie du potentiel.
Bien que la présence du flux magnétique brise la symétrie par réflexion où par
renversement du temps 5 la section efficace est symétrique sous () ~ -8 ou a ~ -a :
d
2 na
dB
nk(I - cos B)
(16.18)
11 est toutefois possible de trouver des quantités physiques sensibles à 1' asymétrie du
problème sous le renversement du champ magnétique a ~ - a ou a ~ 1 - a (cf.
exercice 16.5).
3. En écrivant ces solutions nous avons fait un choix implicite de fonction s régulières à l'origine. Par
exemple lorsque 0 < œ < 1, la fonction J _œ(kr) est une solution normalisable, divergeant à l' origine
comme r-a. Le choi x de ne retenir que la soluti on régulière l iai correspond à la physique d ' un vortex
impénétrable. On pourra trouver davantage d' informations dans A. Comtet, S. Mashkevich & S. Ouvry, Magnetic moment and perturbation theory with singular magnetic fields, Phys. Rev. D 52, 2594
( 1995) et une petite revue dans : C. Texier, Quelques aspects du transport quantique dans les systèmes
désordonnés de basse dimension, thèse de l' Université Paris VI (1999).
4. Ce résultat a été obtenu pour la première foi s dans l'article hi storique : Y. Aharonov & D . Bohm,
Significance of electromagnetic potentials in the quantum mechanics, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
5. x--? x & y--? - y est équivalent à changer le signe du flux magnétique.
300
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(annexe A). Finalement les états propres associés au spectre continu sont donnés par 3
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où le préfacteur assure la condition de normalisation ( lf!k,m 11/!k' ,m') = ô(k - k') Ôm,m'.
Ces états nous permettent de définir les déphasages caractérisant le problème de diffusion par le vortex magnétique : en utilisant le comportement asymptotique des fonctions de Bessel, éq. (A.3 1), nous obtenons
1f
T/m = - (lml - lm - al) .
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Ces déphasages sont indépendants de l'énergie, ce qui traduit l' invariance d'échelle
du problème. De plus ils ne décroissent pas avec m, ce qui est dû à la porté infinie
de l' interaction. Ils nous permettent d'obtenir l'amplitude de diffusion (10.48) caractérisant la diffusion d'une onde plane par le vortex. Le calcul de la série donne4
ei 8 1 2 sin na
JA.P,(B) = -
.
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(16.17)
Nous retrouvons la périodicité du problème en fonction du flux magnétique. La section efficace totale diverge, conséquence de la portée infinie du potentiel.
Bien que la présence du flux magnétique brise la symétrie par réflexion où par
renversement du temps 5 la section efficace est symétrique sous () ~ -8 ou a ~ -a :
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11 est toutefois possible de trouver des quantités physiques sensibles à 1' asymétrie du
problème sous le renversement du champ magnétique a ~ - a ou a ~ 1 - a (cf.
exercice 16.5).
3. En écrivant ces solutions nous avons fait un choix implicite de fonction s régulières à l'origine. Par
exemple lorsque 0 < œ < 1, la fonction J _œ(kr) est une solution normalisable, divergeant à l' origine
comme r-a. Le choi x de ne retenir que la soluti on régulière l iai correspond à la physique d ' un vortex
impénétrable. On pourra trouver davantage d' informations dans A. Comtet, S. Mashkevich & S. Ouvry, Magnetic moment and perturbation theory with singular magnetic fields, Phys. Rev. D 52, 2594
( 1995) et une petite revue dans : C. Texier, Quelques aspects du transport quantique dans les systèmes
désordonnés de basse dimension, thèse de l' Université Paris VI (1999).
4. Ce résultat a été obtenu pour la première foi s dans l'article hi storique : Y. Aharonov & D . Bohm,
Significance of electromagnetic potentials in the quantum mechanics, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
5. x--? x & y--? - y est équivalent à changer le signe du flux magnétique.
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