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1.5. Premières conséquences importantes
L'énergie de la particule est E = ~!
2
• Hors de l'intervalle [0, a], le potentiel V = oo
impose à la fonction d'onde de s'annuler cp(x) = 0 (probabilité nulle de trouver la
particule hors de l'intervalle [O, a]).
• Raccordement et équation de quantification. En admettant la continuité de la fonction d'onde, nous raccordons cp(x) = 0 pour x E]- oo, O] U [a, +oo[ avec (1.18). Il faut
donc imposer
cp(O) = cp(a) = O.
( 1.19)
Nous obtenons deux relations :
A+B=O
&
A eika + B e-ika = O.
(1.20)
Ce système n'admet de solution non triviale que lorsque le déterminant est nul :
1
1
"k
"k
= 0
el a e-L a
1 sin(ka) = 01
(1.21)
Cette condition nous montre que les fonctions de la forme (1.18) ne sont solutions
du problème que si k est solution de (1.21 ). Cette équation est appelée «équation de
quantification » : seules certaines valeurs discrètes de k (et donc de E) correspondent
à des solutions physiques :
'lf
kn = n-, a
n E N*
et donc
(1.22)
alors que classiquement, répétons-le, toutes les valeurs de E E JR.+ sont permises.
Ce phénomène n'est pas fondamentalement nouveau : le lecteur aura probablement
déjà rencontré le phénomène analogue dans l'étude des modes propres de vibrations
de la corde vibrante pincée à ses deux extrémités.
• Les fonctions d'onde. En revenant au système (1.20) pour k = kn on obtient les
coefficients de la fonction d'onde (comme l' équation de Schrodinger est linéaire, il
reste toujours au moins un coefficient arbitraire, ce qui correspond au choix de la
constante multiplicative globale). Dernière étape importante : nous normalisons la
fonction d'onde, afin qu'elle satisfasse ( 1.10) :
/2 . (nnx)
'Pn(X) = '/ ~ sm -;;(1.23)
Quelles idées générales peut-on retirer ? Premièrement: un problème d'états liés est
caractérisé par un spectre discret de valeurs de l'énergie : chaque valeur discrète de
l'énergie correspond à un état stationnaire. Cela explique l'existence des raies spectrales atomiques, correspondant à des transitions entre différents états quantiques.
21
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Quelles idées générales peut-on retirer ? Premièrement: un problème d'états liés est
caractérisé par un spectre discret de valeurs de l'énergie : chaque valeur discrète de
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