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16.2. Champ magnétique homogène
16.2.2 Pourquoi la dimension d = 2 est-elle intéressante?
a) Physique en deux dimensions
Expérimentalement, on sait aujourd'hui geler le degré de liberté des charges selon une
direction, ce qui conduit à une physique de dimension effective d = 2. Le principe est
de piéger un gaz d'électrons à une interface entre deux semi-conducteurs. La technique d'épi taxie par jet moléculaire permet de faire croître un cristal sur un substrat,
couche atomique par couche atomique. On peut ainsi réaliser une interface extrêmement régulière entre deux semi-conducteurs de natures différentes. Un cas important
(utilisé dans les diodes lasers) est celui de l'interface entre un semi-conducteur d' Arseniure de Gallium (GaAs) et le même dopé en aluminium (GaAlxAsi-x). La différence de nature entre ces deux semi-conducteurs est responsable d'un puits de potentiel électrostatique à l'interface, dans la direction perpendiculaire à celle-ci, alors que
le problème reste invariant par translation dans le plan de l' interface. L'hamiltonien
décrivant la dynamique d' un électron est alors H = - 2 ~. Li + Vconf(Z), dont les états
propres sont de la forme ij;k... (f) = eikJ._·r c/Jn(z), où kl_ = (kx , ky) est un vecteur d'onde
J..,n
dans le plan de l 'interface. c/Jn(Z) désigne un état lié du potentiel unidimensionnel :
[ - 2 n
2
dd
2
2 + Vconf(Z)]c/Jn(Z) = Enc/Jn(Z), avec n E N. Si la température du système est
m. z
assez basse, plus petite que l'énergie du premier état excité du puits, kBT « Et - Eo ,
le degré de liberté dans la direction Uz est gelé, 1' électron ne peut être que dans des
états ij;kJ. _ ,o(f> = ei"kJ._.r c/Jo(z). La physique est donc effectivement bidimensionnelle.
b) Champ magnétique en 20
Revenons à la question:« en présence du champ magnétique, pourquoi la dimension
d = 2 est-elle particulière ?» Le lecteur a probablement noté que l' introduction du
champ magnétique dans la situation bidimensionnelle nous fait échapper à la règle
que nous avions édictée dès le début du cours : « états liés = spectre discret et états de
diffusion = spectre continu». Nous avons en effet montré que le spectre (de Landau)
est un spectre de niveaux discrets, bien que les électrons ne soient pas liés à un potentiel puisque l'orbite cyclotronique peut se translater librement dans le plan. Cette
propriété est spécifique à la dimension d = 2 : nous vérifions que dans la situation
tridimensionnelle nous retrouvons un spectre continu (exercice 16.2).
En présence d' un champ magnétique homogène, la dimension d = 2 offre donc
ceci de particulier que le spectre présente des gaps entre états infiniment dégénérés,
ce qui permet de geler l'énergie cinétique des électrons (si la température est petite
devant le gap de Landau nwc).
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16.2.2 Pourquoi la dimension d = 2 est-elle intéressante?
a) Physique en deux dimensions
Expérimentalement, on sait aujourd'hui geler le degré de liberté des charges selon une
direction, ce qui conduit à une physique de dimension effective d = 2. Le principe est
de piéger un gaz d'électrons à une interface entre deux semi-conducteurs. La technique d'épi taxie par jet moléculaire permet de faire croître un cristal sur un substrat,
couche atomique par couche atomique. On peut ainsi réaliser une interface extrêmement régulière entre deux semi-conducteurs de natures différentes. Un cas important
(utilisé dans les diodes lasers) est celui de l'interface entre un semi-conducteur d' Arseniure de Gallium (GaAs) et le même dopé en aluminium (GaAlxAsi-x). La différence de nature entre ces deux semi-conducteurs est responsable d'un puits de potentiel électrostatique à l'interface, dans la direction perpendiculaire à celle-ci, alors que
le problème reste invariant par translation dans le plan de l' interface. L'hamiltonien
décrivant la dynamique d' un électron est alors H = - 2 ~. Li + Vconf(Z), dont les états
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b) Champ magnétique en 20
Revenons à la question:« en présence du champ magnétique, pourquoi la dimension
d = 2 est-elle particulière ?» Le lecteur a probablement noté que l' introduction du
champ magnétique dans la situation bidimensionnelle nous fait échapper à la règle
que nous avions édictée dès le début du cours : « états liés = spectre discret et états de
diffusion = spectre continu». Nous avons en effet montré que le spectre (de Landau)
est un spectre de niveaux discrets, bien que les électrons ne soient pas liés à un potentiel puisque l'orbite cyclotronique peut se translater librement dans le plan. Cette
propriété est spécifique à la dimension d = 2 : nous vérifions que dans la situation
tridimensionnelle nous retrouvons un spectre continu (exercice 16.2).
En présence d' un champ magnétique homogène, la dimension d = 2 offre donc
ceci de particulier que le spectre présente des gaps entre états infiniment dégénérés,
ce qui permet de geler l'énergie cinétique des électrons (si la température est petite
devant le gap de Landau nwc).
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