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> a.
Chapitre 16 • Particule chargée dans un champ magnétique
dans lequel le vecteur d' onde k de l'onde plane dans la direction i1y joue le rôle du
centre de l'oscillateur harmonique Xe selon i1x.
Nous pouvons à nouveau faire appel aux résultats du chapitre 7 : le spectre des
énergies est donné par (16.6). Les fonctions propres sont c/Jn,k(x) = 'Pn(X - Xe) où
'Pn(x) = (gaussienne) x (polynôme
avec n E N et k E lR.
(16.9)
Nous avons assuré la condition d'orthonormalisation des états (l./Jn,k 11./Jn',k') =
Ôn,n'ô(k - k'). Notons que les fonctions d'onde ont une structure très asymétrique,
complètement délocalisées dans la direction i1y, fortement localisées sur une distance
~ Yn es autour de Xe = kt1 dans la direction Ux.
Les niveaux de Landau (16.6) sont donc infiniment dégénérés puisque les énergies ne dépendent que du nombre quantique n mais pas du paramètre continu k.
L'origine physique de cette dégénérescence provient de l'invariance par translation
du problème : une orbite cyclotron de rayon Re donné peut être déplacée sans coût
énergétique, i.e. deux états l./Jn,k(X, y) et l./Jn,k'(X, y) Centrés SUr Xe = kf1 et X~ = k' t1
ont la même énergie En. Nous pouvons caractériser plus précisément cette dégénérescence en considérant que la particule se déplace dans un rectangle de surface
finie Surf= L xLy· Par simplicité nous imposons des conditions aux limites périodiques selon la direction i1y, ce qui conduit à la quantification du nombre quantique k = 2nm/ Ly avec m entier. Cet entier est toutefois borné : le centre de la
fonction d'onde doit se trouver dans le rectangle, i.e. 0 ;$ Xe =
2
zn e1 ;$ L x d'où
y
m = 1, 2, · · · , dLL où la dégénérescence du niveau est
BSurf
c/Jo
où
def h
c/Jo = -
q
(16.10)
0
u
est le quantum de flux magnétique. La dégénérescence correspond donc au flux total en unité de quantum de flux. Ce résultat est un cas particulier du « théorème
Aharonov-Casher » : l'hamiltonien de Pauli (8.90) pour 9e = 2 avec V = 0 et une
configuration de champ magnétique quelconque possède un nombre d'états d'énergie
nulle donné par la partie entière de ~o J dr B(Y). Ce théorème trouve son origine dans
la supersymétrie du problème, éq. (8.91).
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Chapitre 16 • Particule chargée dans un champ magnétique
dans lequel le vecteur d' onde k de l'onde plane dans la direction i1y joue le rôle du
centre de l'oscillateur harmonique Xe selon i1x.
Nous pouvons à nouveau faire appel aux résultats du chapitre 7 : le spectre des
énergies est donné par (16.6). Les fonctions propres sont c/Jn,k(x) = 'Pn(X - Xe) où
'Pn(x) = (gaussienne) x (polynôme
avec n E N et k E lR.
(16.9)
Nous avons assuré la condition d'orthonormalisation des états (l./Jn,k 11./Jn',k') =
Ôn,n'ô(k - k'). Notons que les fonctions d'onde ont une structure très asymétrique,
complètement délocalisées dans la direction i1y, fortement localisées sur une distance
~ Yn es autour de Xe = kt1 dans la direction Ux.
Les niveaux de Landau (16.6) sont donc infiniment dégénérés puisque les énergies ne dépendent que du nombre quantique n mais pas du paramètre continu k.
L'origine physique de cette dégénérescence provient de l'invariance par translation
du problème : une orbite cyclotron de rayon Re donné peut être déplacée sans coût
énergétique, i.e. deux états l./Jn,k(X, y) et l./Jn,k'(X, y) Centrés SUr Xe = kf1 et X~ = k' t1
ont la même énergie En. Nous pouvons caractériser plus précisément cette dégénérescence en considérant que la particule se déplace dans un rectangle de surface
finie Surf= L xLy· Par simplicité nous imposons des conditions aux limites périodiques selon la direction i1y, ce qui conduit à la quantification du nombre quantique k = 2nm/ Ly avec m entier. Cet entier est toutefois borné : le centre de la
fonction d'onde doit se trouver dans le rectangle, i.e. 0 ;$ Xe =
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m = 1, 2, · · · , dLL où la dégénérescence du niveau est
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est le quantum de flux magnétique. La dégénérescence correspond donc au flux total en unité de quantum de flux. Ce résultat est un cas particulier du « théorème
Aharonov-Casher » : l'hamiltonien de Pauli (8.90) pour 9e = 2 avec V = 0 et une
configuration de champ magnétique quelconque possède un nombre d'états d'énergie
nulle donné par la partie entière de ~o J dr B(Y). Ce théorème trouve son origine dans
la supersymétrie du problème, éq. (8.91).
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