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16.2. Champ magnétique homogène
b) Spectre des énergies
Nous commençons notre étude par le calcul du commutateur des composantes de la
vitesse iJ = fl-qA . En utilisant B = ÔxAy - âyAx, nous obtenons :
m.
(16.4)
La relation est valable très généralement pour un champ magnétique inhomogène
B(t). Lorsque le champ est homogène B(t) = B = este, elle nous rappelle la relation de commutation entre variables canoniquement conjuguées (i.e. l'analogue de
[x, Px] = i1i). Puisque l' Hamiltonien est quadratique dans les deux composantes de
la vitesse H = ~m*(v~ + v~), la remarque nous suggère assez directement la forme
du spectre des énergies : celui d' un oscillateur harmonique. Pour rendre la remarque
plus précise, nous introduisons les opérateurs adimensionnés V ~ m* _ h û en terme
ynqB
desquels l'hamiltonien s'exprime comme
(16.5)
Nous pourrions reprendre l'analyse du problème de l'oscillateur harmonique unidimensionnel (chapitre 7) : nous obtiendrions que le spectre des énergies est
avec n E N 1
(16.6)
Les niveaux d'énergie sont appelés les « niveaux de Landau ».
c) États stationnaires pour la jauge asymétrique
et dégénérescences
Pour déterminer les états stationnaires nous choisissons une jauge asymétrique (dite
jauge de Landau) : A= (0, Bx). Puisqu' il ne dépend pas de la coordonnée y, l' hamiltonien fJ = 2 ,~. p~ + 2 ~. (py - qBx)2 commute avec Py· Les états propres sont de la
forme
l/f(x, y) = cp(x) eiky.
(16.7)
Nous vérifions facilement que la fonction cp(x) obéit à une équation de Schrodinger
pour un oscillateur harmonique unidimensionnel
avec Xe~- 1ik = kf~ (16.8)
qB
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