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Chapitre 1 5 • Problèmes dépendants du temps
où le taux de probabilité pour quitter l'état 1 'Pi) est donné par
27f ~
2
T
(15.23)
Ce résultat porte le nom de « règle d'or de Fermi » 2 . On peut montrer que pour les
temps plus longs P
Nous revenons sur le problème étudié en entrée du chapitre 10 : considérons deux
particules intéragissant par l'intermédiaire du potentiel radial représenté sur la figure 10.3, présentant un puits, assurant l'existence d'état(s) lié(s) stable(s) d'énergie(s) E < 0, et une barrière de potentiel, responsable de l'existence d'états métastables d'énergies E > O. Notons que le problème n'est pas complètement académique. G.A. Gamow a proposé en 1929 un tel modèle afin de décrire la désintégration œ de certains noyaux : un puits modélisant l'interaction forte entre le noyau et la
particule œ, et une barrière coulombienne (cf. [47] par exemple).
Nous nous intéressons dans le paragraphe uniquement aux états métastables du
problème, aussi nous le simplifions encore en considérant uniquement l'effet de la
barrière et étudions l'équation de Schrodinger sur R + avec une barrière en x = L :
(-d~ 2 + A ô(x - L)) l/f(x) = !? l/f(x) pour x > 0 avec l/f(O) = O. (15.24)
Lorsque À ---? +oo, le segment [O, L] est découplé du demi-axe infini [L, oo [. Pour
À = oo nous avons donc deux problèmes découplés :
• L'intervalle [O, L] associé au spectre de la boîte quantique En = ( n[,)
2 et 'Pn(x) =
-JI sin( 'r x) avec n EN* (en posant n = 2m = 1 pour simplifier).
• Le demj-axe infini associé à un continuum d'états l/Jk(x) = ~ sin k(x- L) d' énergie 8k = k
2 avec k ER+ .
Lorsque À est fini, les états discrets du puits se couplent au continuum d'états. Nous
appliquons la règle d'or de Fermi (15.23) afin de déterminer avec quelle probabilité
la particule, initialement dans le puits dans un état 1 'Pn ), sort du puits vers un état
11/Jk) du continuum. L'amplitude de probabilité pour traverser la barrière se comporte
2. Règle d'or de Dirac ? La règle d'or de Fermi est en fait due à Dirac : P. A. M. Dirac, The quantum
theory of the emission and absorption of radiation, Proc. Roy. Soc. London Al 14, 243 (1927). Voir
aussi [14].
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où le taux de probabilité pour quitter l'état 1 'Pi) est donné par
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Ce résultat porte le nom de « règle d'or de Fermi » 2 . On peut montrer que pour les
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Nous revenons sur le problème étudié en entrée du chapitre 10 : considérons deux
particules intéragissant par l'intermédiaire du potentiel radial représenté sur la figure 10.3, présentant un puits, assurant l'existence d'état(s) lié(s) stable(s) d'énergie(s) E < 0, et une barrière de potentiel, responsable de l'existence d'états métastables d'énergies E > O. Notons que le problème n'est pas complètement académique. G.A. Gamow a proposé en 1929 un tel modèle afin de décrire la désintégration œ de certains noyaux : un puits modélisant l'interaction forte entre le noyau et la
particule œ, et une barrière coulombienne (cf. [47] par exemple).
Nous nous intéressons dans le paragraphe uniquement aux états métastables du
problème, aussi nous le simplifions encore en considérant uniquement l'effet de la
barrière et étudions l'équation de Schrodinger sur R + avec une barrière en x = L :
(-d~ 2 + A ô(x - L)) l/f(x) = !? l/f(x) pour x > 0 avec l/f(O) = O. (15.24)
Lorsque À ---? +oo, le segment [O, L] est découplé du demi-axe infini [L, oo [. Pour
À = oo nous avons donc deux problèmes découplés :
• L'intervalle [O, L] associé au spectre de la boîte quantique En = ( n[,)
2 et 'Pn(x) =
-JI sin( 'r x) avec n EN* (en posant n = 2m = 1 pour simplifier).
• Le demj-axe infini associé à un continuum d'états l/Jk(x) = ~ sin k(x- L) d' énergie 8k = k
2 avec k ER+ .
Lorsque À est fini, les états discrets du puits se couplent au continuum d'états. Nous
appliquons la règle d'or de Fermi (15.23) afin de déterminer avec quelle probabilité
la particule, initialement dans le puits dans un état 1 'Pn ), sort du puits vers un état
11/Jk) du continuum. L'amplitude de probabilité pour traverser la barrière se comporte
2. Règle d'or de Dirac ? La règle d'or de Fermi est en fait due à Dirac : P. A. M. Dirac, The quantum
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aussi [14].
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